Uma população de bactérias está crescendo a uma taxa dada por
, onde t é o tempo em dias. No instante
, existem 1000 bactérias.
Escreva uma equação para a população P em função do tempo t?.
Escreva uma equação para a população P em função do tempo t?.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de uma população de bactérias ao longo do tempo. A equação que nos dá a taxa de crescimento é uma equação diferencial:
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que descreva a população de bactérias em qualquer tempo
(em dias). Para isso, vamos precisar integrar essa equação diferencial e usar a condição inicial que nos dá a população no instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
representa a taxa de variação da população
em relação ao tempo
. Para encontrar
, precisamos integrar essa taxa em relação a
. Ou seja, vamos calcular:
Passo 3
Antes de integrar, é útil simplificar a expressão. Podemos reescrever o denominador
como
. A integral fica então:
Para facilitar, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo na integral:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Agora, voltamos para a variável original
:
Passo 5
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial fornecida: no instante
,
. Substituindo na equação:
Resposta
Portanto, a equação que descreve a população de bactérias em função do tempo
é: