Uma população de bactérias está crescendo a uma taxa dada por dPdt=30001+0,25 t, onde t é o tempo em dias. No instante t=0, existem 1000 bactérias.
Escreva uma equação para a população P em função do tempo t?.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de uma população de bactérias ao longo do tempo. A equação que nos dá a taxa de crescimento é uma equação diferencial: dPdt = 30001 + 0,25 t. Nosso objetivo é encontrar uma função P(t) que descreva a população de bactérias em qualquer tempo t (em dias). Para isso, vamos precisar integrar essa equação diferencial e usar a condição inicial que nos dá a população no instante t = 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que dPdt representa a taxa de variação da população P em relação ao tempo t. Para encontrar P(t), precisamos integrar essa taxa em relação a t. Ou seja, vamos calcular:
P(t) = integral 30001 + 0,25 t , dt

Passo 3

Antes de integrar, é útil simplificar a expressão. Podemos reescrever o denominador 1 + 0,25 t como 1 + t4. A integral fica então:
P(t) = 3000 integral 11 + t4 , dt
Para facilitar, fazemos uma substituição. Vamos deixar u = 1 + t4, então a derivada de u em relação a t é:
dudt = 14 Rightarrow dt = 4 , du

Passo 4

Substituindo na integral:
P(t) = 3000 integral 1u cdot 4 , du = 12000 integral 1u , du
A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural:
P(t) = 12000 ln|u| + C
Agora, voltamos para a variável original t:
P(t) = 12000 ln(1 + t4) + C

Passo 5

Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial fornecida: no instante t = 0, P(0) = 1000. Substituindo na equação:
1000 = 12000 ln(1 + 04) + C 1000 = 12000 ln(1) + C 1000 = 12000 cdot 0 + C C = 1000

Resposta

Portanto, a equação que descreve a população de bactérias em função do tempo t é:
P(t) = 12000 ln(1 + t4) + 1000

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