Uma bomba de calor que possui coeficiente de desempenho igual a 2.7, que corresponde a 39 % do desempenho teórico máximo, é mantida ligada para que um quarto aquecido mantenha a temperatura constante, num dia em que a temperatura externa é igual a - 15^circ. Sabendo-se que 34 kJ de calor escapam por condução de calor nas paredes, pergunta-se:
(a) Qual a energia fornecida à bomba em forma de trabalho, em kJ?
square
(b) qual a temperatura no quarto, em Celcius, que a bomba consegue manter constante?
square

Passo 1

Beleza, o problema é sobre uma bomba de calor com coeficiente de desempenho real ε = 2,7 (que é 39 % do desempenho de um ciclo de Carnot ideal). Ela fica ligada pra manter um quarto a temperatura constante enquanto do lado de fora está a –15 °C, e sabemos que 34 kJ de calor escapam pelas paredes.
Conteúdo: Termodinâmica (bomba de calor), definição de COP (coeficiente de desempenho) e seu valor máximo (Carnot).
O que vamos usar:
  1. Definição de COP real: ε = Q_h / W
  2. COP máximo (Carnot): ε_C = T_h / (T_h – T_c)
  3. Conversão de temperaturas para Kelvin

Passo 2

Vamos achar a energia de trabalho W que a bomba precisa entregar pra recompor os 34 kJ que escapam.
• A definição de COP (ε) de uma bomba de calor é
ε = QhW
em que Q_h é o calor entregue ao ambiente quente (o quarto) e W é o trabalho gasto.  
• Pra manter a temperatura constante, o calor que a bomba entrega Q_h deve ser igual ao que escapa, ou seja Q_h = 34 kJ.
• Logo, isolando W:
W = Qhε = 34 kJ2,7 approx 12,59 kJ

Passo 3

Agora vamos pegar a informação de que ε = 39 % do máximo (Carnot) e descobrir a temperatura interna T_h.
  1. Primeiro, o COP máximo de uma bomba de calor operando de modo reversível (Carnot) é
εC = ThTh - Tc,
em que T_h e T_c estão em kelvin.  
  1. Sabemos que
ε = 0,39;εC Longrightarrow εC = ε0,39 = 2,70,39 approx 6,9231
  1. A temperatura externa T_c = –15 °C = 258,15 K. Substituindo em
εC = ThTh - Tc = 6,9231,
temos  
ThTh - 258,15 = 6,9231 Longrightarrow Th = 6,9231,(Th - 258,15)
  1. Resolvendo:
Th = 6,9231,Th - 6,9231 times 258,15 Longrightarrow Th,(1 - 6,9231) = -6,9231 times 258,15
Th = -6,9231 times 258,151 - 6,9231 approx 301,5 K
  1. Convertendo pra Celsius:
Th = 301,5 K - 273,15 = 28,35 ^circC

Resposta

(a) A energia de trabalho fornecida pela bomba é
W approx 12,6 kJ
(b) A temperatura que a bomba consegue manter no quarto é
Th approx 28,3 ^circC

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