Uma bomba centrifuga de uma estação de tratamento de água opera a 2000 rpm . Deseja-se obter a altura de eleramentiet para a distribuição de água. Os diâmetros de sucção e de recalque sāo de 200 mm .
A partir do dimensionamento do rotor, têm-se os seguintes dados:
\Phi_{1}=125 \mathrm{~mm} ; \quad \Phi_{2}=250 \mathrm{~mm} ; \quad b_{1}=25 \mathrm{~mm} ; \quad b_{2}=12 \mathrm{~mm} ; \quad \beta_{1}=12^{\circ} ; \quad \beta_{2}=22^{\circ}, entrada radial.
\varepsilon=0,88 ; \eta=0,76
Determinar a potência do motor para esta operação.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a potência do motor necessária para operar a bomba centrifuga nas condições dadas.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
n=2000\\ \text{rpm}
Diâmetros de sucção e recalque: \;200\\ \text{mm} (esses são os diâmetros das tubulações, não usados diretamente na conta do rotor abaixo).
Dados do rotor:
\Phi_{1}=125\\ \text{mm},\qquad \Phi_{2}=250\\ \text{mm},
b_{1}=25\\ \text{mm},\qquad b_{2}=12\\ \text{mm},
\beta_{1}=12^\circ,\qquad \beta_{2}=22^\circ\\ (\text{entrada radial})
Fatores e eficiências:
\varepsilon=0,88\quad(\text{fator de deslize / slip}), \qquad \eta=0,76\quad(\text{eficiência global da bomba})ê
Constantes físicas (valor assumido para água, se não dito):
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}
O que precisamos calcular: potência do motor necessária (potência elétrica/entrante) para a operação dada, usando os dados do rotor, o fator de deslize \varepsilon e a eficiência \eta.

Passo 2

Converter unidades e calcular velocidades periféricas dos raios interno e externo do rotor.
  • Converter diâmetros e larguras para metros e obter raios:
r_1=\frac{\Phi_1}{2}=\frac{125\\ \text{mm}}{2}=62{,}5\\ \text{mm}=0{,}0625\\ \mathrm{m}
r_2=\frac{\Phi_2}{2}=\frac{250\\ \text{mm}}{2}=125\\ \text{mm}=0{,}125\\ \mathrm{m}
b_1=0{,}025\\ \mathrm{m},\qquad b_2=0{,}012\\ \mathrm{m}
  • Converter rotação para velocidade angular:
\omega=\frac{2\pi n}{60}=\frac{2\pi\cdot 2000}{60}=209{,}4395102\\ \mathrm{rad/s}
  • Calcular velocidades periféricas (velocidade tangencial das pás) em cada raio:
U_1=\omega r_1=209{,}4395102\cdot 0{,}0625=13{,}09097\\ \mathrm{m/s}
U_2=\omega r_2=209{,}4395102\cdot 0{,}125=26{,}18194\\ \mathrm{m/s}
Explicação curta: U=\omega r é a velocidade linear da periferia do rotor; ela é usada nas equações de Euler para turbomáquinas.

Passo 3

Determinar a velocidade meridional (radial) na entrada do rotor usando o triângulo de velocidades e o fato de entrada radial.
  • Para entrada radial absoluta temos \;V_{u1}=0 (componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é zero).
  • Relação entre componentes no ponto 1 (triângulo de velocidades) e ângulo da pá \beta_1:
\tan\beta_1=\frac{V_{m1}}{\,U_1 - V_{u1}\,}=\frac{V_{m1}}{U_1} \quad\Rightarrow\quad V_{m1}=U_1\tan\beta_1.
Calcular:
\tan 12^\circ \approx 0{,}2125566
V_{m1}=13{,}09097\cdot 0{,}2125566=2{,}78244\\ \mathrm{m/s}
Explicação: \beta é o ângulo entre a velocidade relativa e a tangente; rearranjando obtemos a componente meridional (radial) que atravessa a seção do rotor.

Passo 4

Calcular a vazão volumétrica Q usando continuidade na seção de entrada do rotor.
  • Área de escoamento na entrada (aproximação anular, fluxo uniforme em torno da circunferência):
A_1=2\pi r_1 b_1
A_1=2\pi\cdot 0{,}0625\cdot 0{,}025=0{,}009817477\\ \mathrm{m^2}
  • Vazão:
Q=A_1 V_{m1}=0{,}009817477\cdot 2{,}78244=0{,}0273129\\ \mathrm{m^3/s}
Comentário prático: essa é a vazão que a geometria do rotor e o ângulo de entrada determinam; é a quantidade de água que passa por segundo.

Passo 5

Determinar a velocidade meridional na saída do rotor usando continuidade na saída.
  • Área de saída:
A_2=2\pi r_2 b_2=2\pi\cdot 0{,}125\cdot 0{,}012=0{,}009424778\\ \mathrm{m^2}
  • Velocidade meridional na saída:
V_{m2}=\frac{Q}{A_2}=\frac{0{,}0273129}{0{,}009424778}=2{,}8989\\ \mathrm{m/s}
Explicação: a vazão é a mesma em toda a seção, logo se a área muda a velocidade meridional também muda.

Passo 6

Determinar a componente tangencial teórica na saída V_{u2,\text{ideal}} a partir do ângulo da pá \beta_2 e do triângulo de velocidades.
  • Relação do triângulo na saída:
\tan\beta_2=\frac{V_{m2}}{U_2 - V_{u2}}\quad\Rightarrow\quad U_2 - V_{u2}=\frac{V_{m2}}{\tan\beta_2}=V_{m2}\cot\beta_2
\Rightarrow V_{u2,\text{ideal}}=U_2 - V_{m2}\cot\beta_2
  • Cálculo numérico:
\tan 22^\circ \approx 0{,}4040262\quad\Rightarrow\quad \cot 22^\circ\approx 2{,}475086
V_{u2,\text{ideal}}=26{,}18194 - 2{,}8989\cdot 2{,}475086=19{,}00934\\ \mathrm{m/s}
Explicação: esse cálculo dá a componente tangencial que seria obtida sem considerar o efeito de “slip” (deslizamento) pelas pás.

Passo 7

Aplicar o fator de deslize (slip) \varepsilon para obter a componente tangencial real V_{u2}.
  • Definição aplicada: o deslize reduz a componente tangencial efetiva que o rotor consegue imprimir ao fluido; usamos
V_{u2}=\varepsilon\cdot V_{u2,\text{ideal}}
V_{u2}=0{,}88\cdot 19{,}00934=16{,}7282\\ \mathrm{m/s}
Comentário: \varepsilon (aqui dado como 0,88) é típico para impelidores reais e corrige a estimativa ideal.

Passo 8

Calcular a altura (carga) teórica fornecida pela bomba usando a equação de Euler para máquinas rotativas.
  • Equação de Euler (forma para altura específica):
H=\frac{U_2 V_{u2}-U_1 V_{u1}}{g}
Como V_{u1}=0 (entrada radial),
H=\frac{U_2 V_{u2}}{g}
  • Cálculo numérico:
U_2 V_{u2}=26{,}18194\cdot 16{,}7282=437{,}979\\ \mathrm{m^2/s^2}
H=\frac{437{,}979}{9{,}81}=44{,}6457\\ \mathrm{m}
Explicação: essa é a carga hidráulica equivalente que a bomba acrescenta ao fluido (em metros de coluna de água).

Passo 9

Calcular a potência hidráulica e, a partir dela, a potência do motor necessária considerando a eficiência.
  • Potência hidráulica (energia por segundo entregue ao fluido):
P_{h}=\rho g Q H
P_{h}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0273129\cdot 44{,}6457=11{,}9519\\ \mathrm{kW}\quad(\text{aprox.})
  • Potência do motor (potência na entrada elétrica/mecânica requerida), considerando eficiência \eta:
P_{\text{motor}}=\frac{P_{h}}{\eta}=\frac{11{,}9519\\ \mathrm{kW}}{0{,}76}=15{,}732\\ \mathrm{kW}
Observação: normalmente, escolhe-se um motor com margem comercial (por exemplo 16 ou 18 kW), mas o valor calculado é o mínimo teórico.

Passo 10

Resumo final dos resultados intermediários (para conferir) e interpretação:
  • Vazão calculada: \;Q=0{,}02731\\ \mathrm{m^3/s}
  • Velocidade meridional entrada: \;V_{m1}=2{,}7824\\ \mathrm{m/s}
  • Velocidade meridional saída: \;V_{m2}=2{,}8989\\ \mathrm{m/s}
  • Componente tangencial saída (após slip): \;V_{u2}=16{,}7282\\ \mathrm{m/s}
  • Altura fornecida: \;H=44{,}6457\\ \mathrm{m}
  • Potência hidráulica: \;P_h\approx 11{,}952\\ \mathrm{kW}
  • Potência do motor necessária: \;P_{\text{motor}}\approx 15{,}732\\ \mathrm{kW}

Resposta

P_{\text{motor}} \approx 15{,}73\\ \mathrm{kW}

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