Uma bomba centrífuga é instalada em um sistema de tubulações com 100 m de comprimento e 40 cm de diâmetro, feitas de ferro fundido. A superfície do reservatório a jusante (após) a bomba está a 15 m abaixo do reservatório a montante da bomba (antes). Determine a curva do sistema. Estime a potência necessária para que uma bomba com rendimento de 70 % funcione à vazão de 1 m^3 / s. Os reservatórios estão abertos para a atmosfera.
  • P=dotV rho g Heta (P é a potência da bomba e H a altura manométrica)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve uma bomba centrífuga em um sistema de tubulações. O que precisamos descobrir aqui é a curva do sistema e estimar a potência necessária para que a bomba funcione numa vazão de 1 metro cúbico por segundo, com 70% de eficiência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica de fluidos e teoria de bombas. Vamos precisar calcular a altura manométrica total que a bomba precisa vencer, que inclui a diferença de altura entre os reservatórios e as perdas por atrito na tubulação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a altura manométrica. Ela representa a altura equivalente que a bomba precisa elevar o fluido para vencer todas as resistências do sistema. Essa altura é a soma da altura estática (diferença de nível entre os reservatórios) e da altura de atrito na tubulação.
Aqui, a diferença de altura entre os reservatórios é de 15 metros, então essa é a nossa altura estática ( ).

Passo 3

Agora, precisamos calcular a altura de atrito ( Hatr = f cdot LD cdot V^22g ) na tubulação. Para isso, vamos usar a fórmula de Darcy-Weisbach:
Onde:
  • é o fator de atrito,
  • é o comprimento da tubulação (100 m),
  • é o diâmetro interno da tubulação (0,4 m),
  • é a velocidade do fluido,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do fluido ( V = dotVA ). Sabemos que a vazão ( A = pi D^24 = pi (0,4)^24 approx 0,126 , m² ) é de 1 m³/s e o diâmetro da tubulação é de 0,4 m. A velocidade pode ser calculada pela fórmula:
V = 10,126 approx 7,94 , m/s
Onde é a área da seção transversal da tubulação:
²
Então,

Passo 5

Agora, vamos estimar o fator de atrito ( 1raizf = -2 log ( epsilon/D3,7 + 2,51Re raizf ) ). Para tubulações de ferro fundido, podemos assumir uma rugosidade relativa ( ) de cerca de 0,26 mm (ou 0,00026 m). Usaremos a fórmula de Colebrook-White para encontrar , que é uma equação implícita:
Mas como isso pode ser um pouco complexo para resolver manualmente, vamos usar uma aproximação ou uma tabela simplificada. Para nosso caso, com alta velocidade e superfície rugosa, vamos estimar .

Passo 6

Com o valor de Hatr = 0,02 cdot 1000,4 cdot (7,94)^22 cdot 9,81 approx 0,02 cdot 250 cdot 63,0419,62 approx 0,02 cdot 250 cdot 3,22 approx 16,1 , m , podemos agora calcular a altura de atrito:

Passo 7

Agora, somamos a altura estática e a altura de atrito para encontrar a altura manométrica total ( H = Hest + Hatr = 15 , m + 16,1 , m = 31,1 , m ):
Essa é a curva do sistema para a vazão de 1 m³/s.

Passo 8

Por fim, vamos calcular a potência necessária para a bomba usando a fórmula que foi dada:
P = dotV rho g Heta
Onde:
  • P = 1 cdot 1000 cdot 9,81 cdot 31,10,70 approx 304,0110,70 approx 434,3 , kW ³,
  • é a densidade da água (aproximadamente 1000 kg/m³),
  • ²,
  • ,
  • (70%).
Substituindo os valores:

Resposta

A potência necessária para que a bomba funcione à vazão de 1 m³/s, com 70% de eficiência, é de aproximadamente 434,3 kW.

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