Uma bomba centrífuga é instalada em um sistema de tubulações com 100 m de comprimento e 40 cm de diâmetro, feitas de ferro fundido. A superfície do reservatório a jusante (após) a bomba está a 15 m abaixo do reservatório a montante da bomba (antes). Determine a curva do sistema. Estime a potência necessária para que uma bomba com rendimento de
funcione à vazão de
. Os reservatórios estão abertos para a atmosfera.
-
(P é a potência da bomba e H a altura manométrica)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve uma bomba centrífuga em um sistema de tubulações. O que precisamos descobrir aqui é a curva do sistema e estimar a potência necessária para que a bomba funcione numa vazão de 1 metro cúbico por segundo, com 70% de eficiência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica de fluidos e teoria de bombas. Vamos precisar calcular a altura manométrica total que a bomba precisa vencer, que inclui a diferença de altura entre os reservatórios e as perdas por atrito na tubulação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a altura manométrica. Ela representa a altura equivalente que a bomba precisa elevar o fluido para vencer todas as resistências do sistema. Essa altura é a soma da altura estática (diferença de nível entre os reservatórios) e da altura de atrito na tubulação.
Aqui, a diferença de altura entre os reservatórios é de 15 metros, então essa é a nossa altura estática (
).
Passo 3
Agora, precisamos calcular a altura de atrito (
) na tubulação. Para isso, vamos usar a fórmula de Darcy-Weisbach:
Onde:
-
é o fator de atrito, -
é o comprimento da tubulação (100 m), -
é o diâmetro interno da tubulação (0,4 m), -
é a velocidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do fluido (
). Sabemos que a vazão (
) é de 1 m³/s e o diâmetro da tubulação é de 0,4 m. A velocidade pode ser calculada pela fórmula:
Onde
é a área da seção transversal da tubulação:
Então,
Passo 5
Agora, vamos estimar o fator de atrito (
). Para tubulações de ferro fundido, podemos assumir uma rugosidade relativa (
) de cerca de 0,26 mm (ou 0,00026 m). Usaremos a fórmula de Colebrook-White para encontrar
, que é uma equação implícita:
Mas como isso pode ser um pouco complexo para resolver manualmente, vamos usar uma aproximação ou uma tabela simplificada. Para nosso caso, com alta velocidade e superfície rugosa, vamos estimar
.
Passo 6
Com o valor de
, podemos agora calcular a altura de atrito:
Passo 7
Agora, somamos a altura estática e a altura de atrito para encontrar a altura manométrica total (
):
Essa é a curva do sistema para a vazão de 1 m³/s.
Passo 8
Por fim, vamos calcular a potência necessária para a bomba usando a fórmula que foi dada:
Onde:
-
, -
é a densidade da água (aproximadamente 1000 kg/m³), -
, -
, -
(70%).
Substituindo os valores:
Resposta
A potência necessária para que a bomba funcione à vazão de 1 m³/s, com 70% de eficiência, é de aproximadamente 434,3 kW.