Uma bomba centrífuga trabalha com entrada axial ( a_{1}= \left.90^{\circ}\right) com água com vazão de 0,3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. O diâmetro do impelidor é de 250 mm e as pás tem 30 mm de largura na saída. Considere que as pás são radiais na saída ( \beta_{2}=90^{\circ} ). Determine a altura teórica considerando número infinito de pás e a potência necessária quando a bomba trabalha com 1000rpm.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a altura teórica (ou salto teórico) da bomba considerando número infinito de pás e a potência necessária quando a bomba gira a 1000\\ \mathrm{rpm}. Dados fornecidos:
Q = 0,3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
D = 250\\ \mathrm{mm} = 0,250\\ \mathrm{m},
b_2 = 30\\ \mathrm{mm} = 0,030\\ \mathrm{m},
\beta_2 = 90^\circ\\ (\text{pás radiais na saída}),áí
entrada axial, isto é \alpha_1 = 90^\circ (o vetor velocidade absoluta na entrada é axial, sem componente tangencial). Velocidade de rotação:
n = 1000\\ \mathrm{rpm}.
Vamos usar esses dados para achar a altura teórica H_{th} e a potência hidráulica necessária P.

Passo 2

Conceito-chave: equação de Euler para máquinas rotodinâmicas (forma para bomba centrífuga). A energia específica (altura teórica) fornecida ao fluido por unidade de peso é dada por
H_{th}=\frac{U_2 V_{u2} - U_1 V_{u1}}{g},
onde:
  • U é a velocidade periférica (tangencial) da borda do impelidor: U=r\omega ou U=2\pi n r/60;
  • V_{u} é a componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta do fluido;
  • índices 1 e 2 referem-se à seção de entrada e de saída do impelidor, respectivamente;
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2).
Explicação do que cada termo representa: U_2 V_{u2} é o produto entre a velocidade periférica na saída e a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido na saída — isso mede o transporte de momento angular do rotor para o fluido. Subtraímos o termo de entrada U_1 V_{u1}.

Passo 3

Usando as condições do enunciado para simplificar a equação de Euler:
  • Entrada axial \alpha_1=90^\circ implica que a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é nula:
V_{u1}=0.
  • Pás radiais na saída \beta_2=90^\circ significa que, no referencial relativo ao rotor, a componente tangencial da velocidade relativa na saída é nula: W_{u2}=0. Com número infinito de pás (hipótese pedida), despreza-se o deslizamento (slip) — isto é, o fluxo relativo segue exatamente a orientação da pá — então W_{u2}=0 implica que a componente tangencial absoluta na saída é igual à velocidade periférica:
    a partir de \mathbf{V} = \mathbf{U} + \mathbf{W} (vetorialmente), em termos de componentes tangenciais
V_{u2}=U_2 + W_{u2}=U_2 + 0 = U_2.
Portanto, com essas hipóteses:
H_{th}=\frac{U_2 V_{u2} - U_1\cdot 0}{g}=\frac{U_2\cdot U_2}{g}=\frac{U_2^2}{g}.
Comentário didático: isso mostra que, para entrada sem componente tangencial e pás perfeitamente radiais sem slip, a altura teórica depende apenas da velocidade periférica ao quadrado.

Passo 4

Calcular a velocidade periférica na saída U_2. O raio de saída é
r_2=\frac{D}{2}=\frac{0,250}{2}=0,125\\ \mathrm{m}.
A velocidade periférica em \mathrm{m}/\mathrm{s} é
U_2 = \frac{2\pi n r_2}{60}.
Substituindo n=1000\\ \mathrm{rpm} e r_2=0,125\\ \mathrm{m}:
U_2 = \frac{2\pi \cdot 1000 \cdot 0,125}{60} = \frac{25\pi}{6}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,08997\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Calcular a altura teórica usando
H_{th}=\frac{U_2^2}{g}.
Substituindo U_2 e g=9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2:
H_{th}=\frac{\left(\dfrac{25\pi}{6}\right)^2}{9,81}\\ \mathrm{m}\approx 17,47\\ \mathrm{m}.
Breve verificação física (opcional, mas útil em prova): a altura não depende da vazão Q na expressão ideal; porém, para consistência geométrica devemos checar se a velocidade meridional razoavelmente compatível com Q e a seção na saída.

Passo 6

Calcular a velocidade meridional (ou axial) na saída V_{m2} a partir da vazão e da área de saída do canal entre pás. A área de escoamento na periferia (assumindo passagem única com largura b_2 e circunferência 2\pi r_2) é
A_2 = 2\pi r_2 b_2.
Substituindo r_2=0,125\\ \mathrm{m} e b_2=0,03\\ \mathrm{m}:
A_2 = 2\pi \cdot 0,125 \cdot 0,03 \approx 0,0235619\\ \mathrm{m}^2.
A velocidade meridional
V_{m2}=\frac{Q}{A_2}=\frac{0,3}{0,0235619}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,73\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Isso mostra que V_{m2} é da mesma ordem de grandeza de U_2 (o que é razoável para uma bomba centrífuga compacta).

Passo 7

Para completude, podemos calcular também a potência hidráulica teórica (sem perdas) necessária para elevar o fluido com a altura H_{th}. A potência hidráulica é
P = \rho g Q H_{th},
onde \rho é a densidade da água (usar \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3). Substituindo:
P = 1000\cdot 9,81 \cdot 0,3 \cdot 17,468\\ \mathrm{W}\approx 51408\\ \mathrm{W}\approx 51,41\\ \mathrm{kW}.
Comentário: essa é a potência hidráulica teórica. Na prática haverá perdas (perda de carga, perdas hidrodinâmicas, etc.), então o motor precisará fornecer mais potência que esse valor.

Resposta

H_{th}\approx 17,47\\ \mathrm{m}
P\approx 51,41\\ \mathrm{kW}

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