7 { }^{\text {a }} QUESTÃO. A seguir são os resultados de um ensaio de adensamento de laboratório em um corpo de prova de argila indeformada obtida do campo.
Pressão (kg/cm²)
Altura final de corpo
de prova (cm)
\mathbf{0} 2,540
\mathbf{0 , 5} 2,519
\mathbf{1 , 0} 2,500
\mathbf{2 , 0} 2,428
Pressão (kg/cm²)
Altura final de corpo
de prova (cm)
\mathbf{4 , 0} 2,322
\mathbf{8 , 0} 2,206
\mathbf{1 6 , 0} 2,090
A altura do corpo de prova no início do ensaio era de 25,4 \mathrm{~mm} e o diâmetro era de 63,5 \mathrm{~mm}. O corpo de prova úmido pesou 140 g e o teor de água foi determinado para ser 19 \%. Estime o índice de compressão e a pressão de pré-adensamento. Dado: \mathrm{GS}=2,7.
Tema: Adensamento - Tensão de pré-adensamento

Passo 1

O enunciado fornece os resultados de um ensaio de adensamento (alturas finais do corpo de prova a várias pressões) e pede: estimar o índice de compressão e a pressão de pré-adensamento. Dados fornecidos (peguei da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} \text{Pressão (kg/cm}^2\text{)} & \text{Altura final (cm)}\\hline 0 & 2{,}540\\\\ 0{,}5 & 2{,}519\\\\ 1{,}0 & 2{,}500\\\\ 2{,}0 & 2{,}428\\\\ 4{,}0 & 2{,}322\\\\ 8{,}0 & 2{,}206\\\\ 16{,}0 & 2{,}090 \end{array}ã
Outros dados do enunciado (usei-os tal quais dados):
\text{altura inicial }h_0=25{,}4\\ \text{mm}=2{,}54\\ \text{cm},\qquad \text{diâmetro }D=63{,}5\\ \text{mm}=6{,}35\\ \text{cm},â
\text{massa úmida }M_w=140\\ \text{g},\qquad w=19\%=0{,}19,\qquad G_s=2{,}7.ú
No Passo 2 começo a transformar esses dados em vãos (razão vazios) e para cada pressão, que é o que se usa no gráfico e versus \log p para obter C_c e a pressão de pré-adensamento.

Passo 2

Definições e fórmulas básicas (mini-aula rápida).
  • Massa seca do solo M_s obtém-se de M_w e w por:
M_s=\frac{M_w}{1+w}.
Aqui M_w é massa úmida (g) e w é teor de água adimensional.
  • Volume dos sólidos V_s (em cm ^3) obtém-se por:
V_s=\frac{M_s}{\rho_w\,G_s},
onde \rho_w é a massa volúmica da água (assumimos \rho_w=1{,}0\\ \text{g/cm}^3) e G_s é a massa específica dos grãos.
  • Volume total do corpo de prova V_t (em cm ^3) é área da base vezes altura:
V_t=A\cdot h,\qquad A=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2.
  • Volume de vazios V_v e índice de vazios e:
V_v=V_t-V_s,\qquad e=\frac{V_v}{V_s}=\frac{V_t-V_s}{V_s}.
  • Para traçar a curva de adensamento usamos e versus \log_{10} p (pressão p em kg/cm ^2). O índice de compressão C_c é definido como
C_c=-\frac{\Delta e}{\Delta(\log_{10} p)}
na porção virgem (linha reta) da curva (normalmente em pressões maiores, onde o solo entra em compressão irreversível).
  • A pressão de pré-adensamento p_c pode ser estimada graficamente pelo método de Casagrande (intersecção entre a extrapolação da recta de recompressão e a recta de compressão virgem) — aqui faremos a versão numérica: ajustamos uma reta à zona de recompressão (baixas tensões) e outra reta à zona virgem (altas tensões) e calculamos a intersecção em \log_{10} p.

Passo 3

Calcular M_s e V_s:
M_s=\frac{140}{1+0{,}19}=\frac{140}{1{,}19}=117{,}647\\ \text{g}.
V_s=\frac{M_s}{\rho_w G_s}=\frac{117{,}647}{1{,}0\times 2{,}7}=43{,}573\\ \text{cm}^3\\ (\text{aprox.}).
Expliquei: dividimos a massa seca pelo produto da densidade da água e G_s para obter o volume dos sólidos.

Passo 4

Calcular a área da amostra A e os volumes totais V_t para cada altura:
A=\pi\left(\frac{6{,}35}{2}\right)^2=\pi(3{,}175)^2=\pi(10{,}080625)\approx 31{,}676\\ \text{cm}^2.
Agora V_t=A\cdot h. Vou calcular V_t, V_v e e para cada pressão. Usei as alturas diretamente da tabela (em cm) — conforme indicado no enunciado.

Passo 5

Cálculos numéricos (mostro os passos para cada linha; arredondei na apresentação final dos números):
Para p=0 e h=2{,}540\\ \text{cm}:
V_t=31{,}676\times 2{,}540\approx 80{,}462\\ \text{cm}^3,
V_v=V_t-V_s=80{,}462-43{,}573=36{,}889\\ \text{cm}^3,
e=\frac{36{,}889}{43{,}573}\approx 0{,}8469.
Para p=0{,}5 e h=2{,}519\\ \text{cm}:
V_t\approx 31{,}676\times 2{,}519\approx 79{,}786,
V_v\approx 79{,}786-43{,}573=36{,}213,
e\approx 0{,}8312.
Para p=1{,}0 e h=2{,}500\\ \text{cm}:
V_t\approx 31{,}676\times 2{,}500\approx 79{,}190,
V_v\approx 79{,}190-43{,}573=35{,}617,
e\approx 0{,}8173.
Para p=2{,}0 e h=2{,}428\\ \text{cm}:
V_t\approx 31{,}676\times 2{,}428\approx 76{,}905,
V_v\approx 76{,}905-43{,}573=33{,}332,
e\approx 0{,}7647.
Para p=4{,}0 e h=2{,}322\\ \text{cm}:
V_t\approx 31{,}676\times 2{,}322\approx 73{,}551,
V_v\approx 73{,}551-43{,}573=29{,}978,
e\approx 0{,}6880.
Para p=8{,}0 e h=2{,}206\\ \text{cm}:
V_t\approx 31{,}676\times 2{,}206\approx 69{,}877,
V_v\approx 69{,}877-43{,}573=26{,}304,
e\approx 0{,}6035.
Para p=16{,}0 e h=2{,}090\\ \text{cm}:
V_t\approx 31{,}676\times 2{,}090\approx 66{,}203,
V_v\approx 66{,}203-43{,}573=22{,}630,
e\approx 0{,}5196.
Resumo (valores arredondados para 4 algarismos significativos):
\begin{array}{c|c|c} p\\ (\text{kg/cm}^2) & \log_{10}p & e\\hline 0{,}5 & -0{,}3010 & 0{,}8312\\\\ 1{,}0 & 0{,}0000 & 0{,}8173\\\\ 2{,}0 & 0{,}3010 & 0{,}7647\\\\ 4{,}0 & 0{,}6021 & 0{,}6880\\\\ 8{,}0 & 0{,}9031 & 0{,}6035\\\\ 16{,}0 & 1{,}2041 & 0{,}5196 \end{array}
(Observação: p=0 não aparece com \log definido, por isso a análise em e- \log p usa os pontos com p>0.)

Passo 6

Determinar a porção virginal (reta de compressão) e a porção de recompressão (rebound).
  • Olhando numericamente para os pares (\log_{10}p,e), a queda de e é pequena entre p=0{,}5 e p=1 (recompressão) e torna-se muito mais acentuada a partir de p\approx 2 (zona virginal). Portanto escolhemos ajustar:
    • reta de recompressão usando os pontos de baixas tensões (aqui usei p=0{,}5 e p=1),
    • reta virginal (compressão irreversível) usando pontos de altas tensões (aqui usei p=4 e p=16), que formam um bom segmento linear em escala logarítmica.

Passo 7

Achar equações das retas (forma e=m\log_{10}p + b).
Reta de recompressão (pontos p=0{,}5 e p=1):
m_r=\frac{e(1{,}0)-e(0{,}5)}{\log_{10}1{,}0-\log_{10}0{,}5} =\frac{0{,}8173-0{,}8312}{0-(-0{,}3010)}=\frac{-0{,}0139}{0{,}3010}=-0{,}0460.
Intercepto:
b_r=e(1{,}0)-m_r\cdot 0=0{,}8173.
Logo:
e_r(\log p)=0{,}8173-0{,}0460\log_{10}p.
Reta virginal (pontos p=4 e p=16):
m_v=\frac{e(16)-e(4)}{\log_{10}16-\log_{10}4} =\frac{0{,}5196-0{,}6880}{1{,}2041-0{,}6021}=\frac{-0{,}1684}{0{,}6020}=-0{,}2797.
Intercepto (usando p=4,\\ \log_{10}4=0{,}60206):
b_v=e(4)-m_v\cdot 0{,}60206 =0{,}6880-(-0{,}2797)(0{,}60206)=0{,}8564.
Logo:
e_v(\log p)=0{,}8564-0{,}2797\log_{10}p.

Passo 8

Encontrar a intersecção das duas retas (isso dá o \log_{10}p_c aproximado — é uma versão numérica do método gráfico de Casagrande):
e_r(\log p)=e_v(\log p)\Longrightarrow 0{,}8173-0{,}0460L=0{,}8564-0{,}2797L,
onde L=\log_{10}p_c. Resolvo:
(-0{,}0460+0{,}2797)L=0{,}8564-0{,}8173
0{,}2337L=0{,}0391\Longrightarrow L=\frac{0{,}0391}{0{,}2337}=0{,}1673.
Portanto
\log_{10}p_c\approx 0{,}1673\quad\Rightarrow\quad p_c=10^{0{,}1673}\approx 1{,}47\\ \text{kg/cm}^2.
Comentário didático: esse procedimento é a versão algébrica do que o Casagrande faz graficamente: obter duas retas (recompressão e virginal) e o ponto de intersecção dá a pressão de pré-adensamento. Em prova, se você tiver papel milimetrado sem calculadora gráfica, pode traçar as retas pelos pontos e estimar a intersecção; aqui calculei as retas explicitamente para obter p_c numérico.

Passo 9

Calcular o índice de compressão C_c.
Escolhemos a porção virginal da curva (reta obtida no Passo 7). Por definição:
C_c=-\frac{\Delta e}{\Delta(\log_{10}p)}.
Usando a reta virginal entre p=4 e p=16 (ou simplesmente usando o coeficiente angular negativo da reta virginal):
m_v=-0{,}2797=\frac{\Delta e}{\Delta(\log_{10}p)}.
Logo
C_c=-m_v=0{,}2797\approx 0{,}28.
Comentário: se usássemos outros pontos da porção virginal (por ex. p=2 a p=16) obteríamos valor próximo (por volta de 0{,}25 0{,}28); portanto C_c\approx 0{,}28 é uma boa estimativa.

Resposta

Índice de compressão C_c\approx 0{,}28.
Pressão de pré-adensamento p_c\approx 1{,}5\\ \text{kg/cm}^2 (valor calculado \approx 1{,}47\\ \text{kg/cm}^2).

Exercícios relacionados