Determine os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma turbina axial com os seguintes dados: a) diâmetro externo De =500 \mathrm{~mm}, \mathrm{~b}) diâmetro interno Di =250 \mathrm{~mm}, c) vazão =0,65 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, d) rotação \mathrm{n}=500 \mathrm{RPM}, \mathrm{e} ) ângulo construtivo na entrada \beta 4=75^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma turbina axial” com os dados fornecidos. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
\text{Diâmetro externo: }D_e = 500\\ \mathrm{mm}â
\text{Diâmetro interno: }D_i = 250\\ \mathrm{mm}â
\text{Vazão volumétrica: }Q = 0,65\\ \mathrm{m^3/s}ãé
\text{Rotação: }n = 500\\ \mathrm{RPM}çã
\text{Ângulo construtivo na entrada (relativo às lâminas): }\beta_4 = 75^\circÂàâ
O que devemos determinar (elementos dos triângulos de velocidade):
  • velocidade axial uniforme c_a (comum a entrada/saída),
  • velocidade periférica média U (no raio médio apropriado da coroa de pás),
  • no ponto de entrada (estação 4): componentes tangencial c_{u4}, axial c_{a}, velocidade absoluta resultante c_4, componentes relativas w_{u4}, w_{a4} e velocidade relativa w_4 e checar o ângulo \beta_4,
  • no ponto de saída (estação 5): componentes c_{u5}, c_{a}, c_5, w_{u5}, w_{a5}, w_5 e o ângulo relativo \beta_5.
Observações importantes (para não me perder depois): o enunciado só dá \beta_4 (ângulo construtivo na entrada). Como não há mais informações sobre pré-vórtice do escoamento a montante nem sobre o escoamento a jusante, vou adotar a hipótese usual e prática em exercícios desse tipo:
  • escoamento axial uniforme, ou seja, a componente axial c_a é a mesma em entrada e saída;
  • a convenção de sinais/ângulos que vou usar é a padrão em turbomaquinas: \beta é o ângulo entre a velocidade relativa \mathbf{w} e a direção tangencial (medido do sentido tangencial para o sentido axial). Com essa convenção a relação no ingresso do rotor (estação 4) é
\tan\beta_4=\frac{c_a}{U-c_{u4}}.
  • para a saída (estação 5) adotarei a hipótese adicional usual para completar o problema quando não dado: escoamento descarregado axialmente depois do rotor, isto é c_{u5}=0. Essa hipótese é comum quando não se fornece a geometria do difusor ou das pás a jusante.
A partir daqui eu começo a calcular passo a passo os valores numéricos e a explicar cada fórmula usada.

Passo 2

Calcular o raio externo e interno e a área da coroa anular por onde passa a vazão.
Raios:
r_o=\frac{D_e}{2}=\frac{500\\ \mathrm{mm}}{2}=0,25\\ \mathrm{m}
r_i=\frac{D_i}{2}=\frac{250\\ \mathrm{mm}}{2}=0,125\\ \mathrm{m}
Área da coroa anular (área pelo qual flui o fluido em seção axial):
A=\pi\left(r_o^2-r_i^2\right)=\pi\left(0,25^2-0,125^2\right)=\pi\left(0,0625-0,015625\right)=\pi\cdot 0,046875.
Agora calculo numericamente A:
A=\pi\cdot 0,046875 \approx 0,147262\\ \mathrm{m^2}.
Explicação didática: usamos a diferença entre áreas de círculo externo e interno porque o escoamento ocupa a região anular entre os dois diâmetros.

Passo 3

Calcular a velocidade axial média c_a a partir da vazão constante Q e da área A. A fórmula básica é:
c_a=\frac{Q}{A}.
Substituindo os números:
c_a=\frac{0,65}{0,147262}\approx 4,414\\ \mathrm{m/s}.
Breve explicação: a vazão volumétrica Q é a área vezes a velocidade média normal à área, logo isolamos c_a.

Passo 4

Calcular a velocidade periférica média U. Primeiro precisamos da velocidade angular \omega:
\omega = \frac{2\pi n}{60}.
Substituindo n=500\\ \mathrm{RPM}:
\omega = \frac{2\pi\cdot 500}{60} = \frac{1000\pi}{60} = \frac{50\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx 52,3599\\ \mathrm{rad/s}.
Agora: para associar uma velocidade periférica média representativa usamos o raio médio ponderado pela área da seção anular (média apropriada quando c_a é uniforme). Esse raio médio é
r_m = \frac{2}{3}\cdot\frac{r_o^3-r_i^3}{r_o^2-r_i^2}.
Essa expressão vem de calcular a média de r sobre a área do anel (peso proporcional a 2\pi r\,dr). Substituindo nossos raios (faça a conta simbólica e simplifique):
r_o=\tfrac{1}{4},\qquad r_i=\tfrac{1}{8}\Rightarrow r_m=\frac{2}{3}\cdot\frac{\tfrac{1}{64}-\tfrac{1}{512}}{\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{64}}=\frac{7}{36}\approx 0,194444\\ \mathrm{m}.
Então a velocidade periférica média é
U=\omega r_m \approx 52,3599\cdot 0,194444\approx 10,186\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática: escolher r_m dessa forma pesa mais as regiões com maior circunferência (maior área anelar), que é coerente quando o escoamento axial é uniforme.

Passo 5

Explicar a relação entre componentes tangenciais e axiais e a convenção de sinais que vou usar para as componentes (essa parte é crucial para montar os triângulos).
  • Vetor velocidade absoluta: \mathbf{c} tem componentes axial c_a e tangencial c_u.
  • Velocidade da pá (periférica): \mathbf{U} é tangencial com módulo U.
  • Velocidade relativa vista pela pá: \mathbf{w}=\mathbf{c}-\mathbf{U}. Assim a componente axial relativa é w_a=c_a (porque U não tem componente axial) e a componente tangencial relativa é w_u=c_u-U.
  • O ângulo relativo \beta é o ângulo entre \mathbf{w} e a direção tangencial, medido do sentido tangencial para o axial; assim
\tan\beta=\frac{w_a}{|w_u|}=\frac{c_a}{|c_u-U|}.
No ingresso (estação 4) normalmente usamos a forma (assumindo U>c_{u4}, o caso usual)
\tan\beta_4=\frac{c_a}{U-c_{u4}}.
Dessa expressão isolamos c_{u4}:
c_{u4}=U-\frac{c_a}{\tan\beta_4}.
Agora uso exatamente essa expressão com \beta_4=75^\circ.

Passo 6

Calcular as componentes no ingresso (estação 4) usando \beta_4=75^\circ.
Primeiro calcule \tan\beta_4:
\tan 75^\circ \approx 3{,}73205.
Então
\frac{c_a}{\tan\beta_4}=\frac{4{,}414}{3{,}73205}\approx 1{,}184\\ \mathrm{m/s}.
Logo
c_{u4}=U-\frac{c_a}{\tan\beta_4}\approx 10{,}186-1{,}184\approx 9{,}002\\ \mathrm{m/s}.
Componentes e módulos:
c_{a4}=c_a\approx 4{,}414\\ \mathrm{m/s},
c_{u4}\approx 9{,}002\\ \mathrm{m/s},
c_4=\sqrt{c_{a4}^2+c_{u4}^2}=\sqrt{4{,}414^2+9{,}002^2}\approx 10{,}026\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade relativa:
w_{a4}=c_{a4}=4{,}414\\ \mathrm{m/s},
w_{u4}=c_{u4}-U=9{,}002-10{,}186=-1{,}184\\ \mathrm{m/s}.
(O sinal negativo indica que a componente tangencial relativa está no sentido oposto ao movimento da pá; o módulo |w_{u4}|=1{,}184\\ \mathrm{m/s}.)
Módulo e ângulo relativo (verificação):
w_4=\sqrt{w_{a4}^2+w_{u4}^2}=\sqrt{4{,}414^2+(-1{,}184)^2}\approx 4{,}571\\ \mathrm{m/s},
\beta_4=\arctan\!\left(\frac{w_{a4}}{|w_{u4}|}\right)=\arctan\!\left(\frac{4{,}414}{1{,}184}\right)\approx 75^\circ,
confirmando a consistência com o dado construtivo.
Explicação didática: a ordem usada (isolar c_{u4} da expressão com \tan\beta_4) é uma técnica padrão em provas — primeiro encontro c_a e U e então obtenho a componente tangencial absoluta que faz o triângulo relativo ter o ângulo dado.

Passo 7

Determinar os elementos na saída (estação 5). Como não foi dado \beta_5 nem c_{u5}, adotei a hipótese usual para fechar o problema: descarga axial após o rotor, isto é
c_{u5}=0\\ \mathrm{m/s}.
Com c_{u5}=0:
c_{a5}=c_a\approx 4{,}414\\ \mathrm{m/s},
c_5=\sqrt{c_{a5}^2+c_{u5}^2}=4{,}414\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade relativa na saída:
w_{u5}=c_{u5}-U=0-10{,}186=-10{,}186\\ \mathrm{m/s},
w_{a5}=c_{a5}=4{,}414\\ \mathrm{m/s},
w_5=\sqrt{w_{a5}^2+w_{u5}^2}=\sqrt{4{,}414^2+10{,}186^2}\approx 11{,}099\\ \mathrm{m/s}.
Ângulo relativo na saída:
\beta_5=\arctan\!\left(\frac{w_{a5}}{|w_{u5}|}\right)=\arctan\!\left(\frac{4{,}414}{10{,}186}\right)\approx 23{,}4^\circ.
Breve justificativa da hipótese: escolher c_{u5}=0 é uma suposição prática em problemas elementares quando não se fornece o comportamento a jusante; ela corresponde a um “end straighten” (sem swirl absoluto) que é comum quando há difusor/estator posterior que retira o giro residual. Se você tivesse outros dados (por exemplo trabalho extraído, entalpia, ou ângulo de saída das pás), usaríamos esses para determinar c_{u5} de forma diferente.

Passo 8

Resumo numérico de todos os elementos importantes (com as unidades e arredondamentos razoáveis). Estes são os elementos dos triângulos de velocidade na entrada (estação 4) e na saída (estação 5) que você normalmente precisa para desenhar os triângulos ou usar em cálculos de trabalho/trocador de momento.
(cálculos já demonstrados nos passos anteriores — aqui consolido para conferência)

Resposta

c_a = 4{,}414\\ \mathrm{m/s}
r_m = 0{,}194444\\ \mathrm{m}
U = 10{,}186\\ \mathrm{m/s}
Entrada (estação 4):
c_{a4}=4{,}414\\ \mathrm{m/s}
c_{u4}=9{,}002\\ \mathrm{m/s}
c_4=10{,}026\\ \mathrm{m/s}
w_{a4}=4{,}414\\ \mathrm{m/s}
w_{u4}=-1{,}184\\ \mathrm{m/s} (módulo |w_{u4}|=1{,}184\\ \mathrm{m/s})
w_4=4{,}571\\ \mathrm{m/s}
\beta_4=75^\circ (dado, verificado)
Saída (estação 5), assumindo descarga axial ( c_{u5}=0):
c_{a5}=4{,}414\\ \mathrm{m/s}
c_{u5}=0\\ \mathrm{m/s}
c_5=4{,}414\\ \mathrm{m/s}
w_{a5}=4{,}414\\ \mathrm{m/s}
w_{u5}=-10{,}186\\ \mathrm{m/s} (módulo |w_{u5}|=10{,}186\\ \mathrm{m/s})
w_5=11{,}099\\ \mathrm{m/s}
\beta_5\approx 23{,}4^\circ

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