Uma bomba centrífuga utilizada em um sistema de irrigação está operando com desempenho superior ao necessário: a pressão na rede encontra-se elevada e há desperdício de energia. O conjunto atual trabalha com rotor de diâmetro \mathrm{D}_{1}=280 \mathrm{~mm}, rotação \mathrm{n}=1750 \mathrm{rpm}, altura manométrica \mathrm{H}_{1}=24 \mathrm{~m} e vazão \mathrm{Q}_{1}=40 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Pretende-se reduzir a altura para \mathrm{H}_{2}=18 \mathrm{~m}, sem alterar a rotação do motor, por meio do “corte” do rotor.
Admitindo semelhança hidráulica local e uso das leis de afinidade para variação de diâmetro em rotação constante, responda aos seguintes itens:
  1. Determine o novo diâmetro D_{2} necessário para reduzir a altura de 24 m para 18 m na mesma rotação.
  2. Calcule a nova vazão Q_{2} correspondente ao diâmetro obtido.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar o novo diâmetro D_{2} do rotor para que a altura caia de H_{1}=24\\ \mathrm{m} para H_{2}=18\\ \mathrm{m} mantendo a rotação inalterada.
  2. Calcular a nova vazão Q_{2} associada a esse novo diâmetro.
Dados fornecidos:
D_{1}=280\\ \mathrm{mm},\quad n=1750\\ \mathrm{rpm},\quad H_{1}=24\\ \mathrm{m},\quad Q_{1}=40\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h},\quad H_{2}=18\\ \mathrm{m}.
A rotação n é mantida constante (informação importante para usar as leis de afinidade).

Passo 2

Vamos lembrar e entender as leis de afinidade (explicação didática):
  • A vazão Q de uma bomba semelhante é aproximadamente a velocidade média do fluido vezes a área de passagem. Se escalamos o diâmetro geométrico por um fator k, a área escala como k^{2} e a velocidade típica (proporcional à velocidade periférica do rotor) escala como k vezes a rotação n. Assim, dimensionalmente:
Q\propto (\text{velocidade})\times(\text{área}) \propto (D\,n)\times D^{2}=n\,D^{3}.á
  • A altura (ou carga) H está relacionada à energia por unidade de peso que é proporcional ao quadrado da velocidade, logo:
H\propto (\text{velocidade})^{2}\propto (D\,n)^{2}=n^{2}D^{2}.
Onde cada símbolo significa:
D=\text{diâmetro do rotor},\qquad n=\text{rotação (rpm)},\qquad Q=\text{vazão},\qquad H=\text{altura manométrica}.âçããé
Como n é constante neste problema, as leis simplificam para:
Q\propto D^{3},\qquad H\propto D^{2}.

Passo 3

Obtemos a relação entre alturas e diâmetros em rotação constante:
\frac{H_{2}}{H_{1}}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{2}.
Isolando D_{2}:
D_{2}=D_{1}\sqrt{\frac{H_{2}}{H_{1}}}.
Agora substituímos os valores conhecidos:
\frac{H_{2}}{H_{1}}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}=0,75.
Logo
\sqrt{\frac{H_{2}}{H_{1}}}=\sqrt{0,75}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254.
Então
D_{2}=280\\ \mathrm{mm}\times 0,8660254\approx 242,486\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma prática para uma medida usual de usinagem:
D_{2}\approx 242,5\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Agora calculamos a nova vazão Q_{2}. Pela lei de afinidade com n constante:
\frac{Q_{2}}{Q_{1}}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{3}.
Como \dfrac{D_{2}}{D_{1}}=\sqrt{\dfrac{H_{2}}{H_{1}}}, podemos escrever
\frac{Q_{2}}{Q_{1}}=\left(\sqrt{\frac{H_{2}}{H_{1}}}\right)^{3}=\left(\frac{H_{2}}{H_{1}}\right)^{3/2}.
Substituindo números:
\left(\frac{H_{2}}{H_{1}}\right)^{3/2}=(0,75)^{3/2}=(0,8660254)^{3}\approx 0,6495191.
Portanto
Q_{2}=Q_{1}\times 0,6495191=40\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}\times 0,6495191\approx 25,9808\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
Arredondando de forma prática:
Q_{2}\approx 26,0\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.

Passo 5

Resumo e interpretação curta (para te tranquilizar): cortar o diâmetro reduz tanto a altura quanto a vazão. Usamos apenas as leis de afinidade apropriadas para geometria semelhante e rotação constante — nada de fórmulas complicadas, só raciocínio físico simples (velocidade ∝ D, área ∝ D^{2}, energia ∝ velocidade²).

Resposta

D_{2}=242,5\\ \mathrm{mm}\n
Q_{2}=26,0\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}

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