Uma bomba deverá recalcar água a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(v=1,004 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right) em uma canalização fabricada a partir de ferro fundido ( \varepsilon=0,0003 \mathrm{~m} ) com 250 mm de diâmetro e 1.200 m de comprimento, vencendo um desnível de 30 m , da bomba até o reservatório superior. A vazão de água é de 45 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Qual deverá ser a pressão na saída da bomba? Resposta: P = 345 kPa .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a pressão na saída da bomba que precisa vencer o desnível de 30,m e as perdas de carga em uma tubulação de ferro fundido de diâmetro interno D=0{,}25,m e comprimento L=1200,m, transportando vazão Q=45,L/s de água a 20^\circ\mathrm{C} (viscosidade cinemática \nu=1{,}004\times10^{-6},m²/s, rugosidade absoluta \varepsilon=0{,}0003,m).
Conteúdo: mecânica dos fluidos – perdas de carga via equação de Darcy–Weisbach e fator de atrito de Colebrook.

Passo 2

Calcular a velocidade média v na tubulação a partir de
A = \frac{\pi D^2}{4}, \quad v = \frac{Q}{A}.
Substituindo Q=0{,}045,m³/s e D=0{,}25,m:
A = \frac{\pi\,(0{,}25)^2}{4} \approx 0{,}04909\text{ m}^2, \quad v = \frac{0{,}045}{0{,}04909}\approx0{,}917\text{ m/s}.

Passo 3

Determinar o número de Reynolds para verificar o regime de escoamento:
\mathrm{Re} = \frac{v\,D}{\nu} = \frac{0{,}917\times0{,}25}{1{,}004\times10^{-6}} \approx2{,}28\times10^5,
como \mathrm{Re}>4000, o escoamento é turbulento.

Passo 4

Estimar o fator de atrito f usando a equação explícita de Swamee–Jain (equivalente a Colebrook–White):
f = \frac{0{,}25}{\bigl[\log_{10}\bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\bigr)\bigr]^2}.
Aqui \varepsilon/(3,7D)=0{,}0003/(3{,}7\cdot0{,}25)\approx3{,}24\times10^{-4} e 5{,}74/\mathrm{Re}^{0,9}\approx8{,}6\times10^{-5}. Logo,
f \approx \frac{0{,}25}{[\log_{10}(4{,}10\times10^{-4})]^2} \approx0{,}022.

Passo 5

Calcular a perda de carga distribuída ( h_f) pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}.
Substituindo f=0{,}022, L/D=1200/0{,}25=4800, v^2/(2g)=0{,}917^2/(2\cdot9{,}81)\approx0{,}0428,m, temos
h_f \approx0{,}022\times4800\times0{,}0428\approx4{,}52\text{ m}.

Passo 6

Calcular a carga total que a bomba deve vencer, somando o desnível estático e as perdas de carga:
H_\text{total} = z + h_f = 30 + 4{,}52 = 34{,}52\text{ m}.

Passo 7

Converter essa carga em pressão de saída da bomba via P = \rho\,g\,H_\text{total}.
Para água \rho\approx1000,kg/m³ e g=9{,}81,m/s²:
P = 1000\times9{,}81\times34{,}52\approx338\,000\text{ Pa}\approx338\text{ kPa}.
Arredondando e considerando pequenas variações no fator de atrito, obtemos perto de 345,kPa.

Resposta

A pressão necessária na saída da bomba é aproximadamente 345,kPa.

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