Uma bomba de engrenagens será usada para o transporte de uma vazão de 10 L / s de óleo SAE 50 W de um reservatório de cota z1=15 m para outro de cota z2=40 m. A tubulação utilizada para transporte tem diâmetro interno de 3 polegadas, rugosidade relativa 0,01 e comprimento total de 200 metros. Considerando apenas a perda de carga distribuída, determine a potência mecânica que deve ser fornecida ao eixo da bomba, sabendo que sua eficiência é 85 %.
Propriedades do óleo SAE 50W: rho=902 kg / m^3 ; mu=0,86 kg / m s.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma bomba de engrenagens que vai bombear óleo SAE 50W com vazão de 10 L/s (ou 0,01 m³/s) de um reservatório a z₁ = 15 m até outro a z₂ = 40 m, por um tubo de 3 polegadas (0,0762 m de diâmetro), comprimento 200 m e rugosidade relativa 0,01. Só vamos considerar a perda de carga distribuída. O objetivo é achar a potência mecânica no eixo da bomba, sabendo que a eficiência η é 85 %.
Conteúdo: mecânica dos fluidos – cálculo de vazão, velocidade, número de Reynolds, fator de atrito, perda de carga, altura manométrica e potência de bomba.

Passo 2

Primeiro, transforma tudo em unidades SI e calcula a velocidade média no tubo.
Q = 10 L/s = 0,01 m³/s
D = 3 in = 3·0,0254 m = 0,0762 m
Área da seção:
A = pi D^24 = pi,(0,0762)^24 approx 4,56times10^-3,m^2
Velocidade média:
V = QA = 0,014,56times10^-3 approx 2,19,m/s

Passo 3

Agora calcula a viscosidade cinemática e o número de Reynolds pra ver o regime de escoamento.
Dados do óleo:
ρ = 902 kg/m³
μ = 0,86 kg/(m·s)
nu = murho = 0,86902 approx 9,53times 10^-4,m^2/s
Re = V,Dnu = 2,19cdot 0,07629,53times 10^-4 approx 175
Re < 2000 → escoamento laminar.

Passo 4

Em escoamento laminar o fator de atrito f vale:
f = 64Re = 64175 approx 0,365

Passo 5

Perda de carga distribuída (fórmula de Darcy–Weisbach):
hf = f,LD,V^22g
Onde g = 9,81 m/s², L = 200 m.
Calculando:
LD = 2000,0762 approx 2624
V^22g = (2,19)^22cdot9,81 approx 0,245,m
hf = 0,365 times 2624 times 0,245 approx 234,1,m

Passo 6

Altura manométrica total que a bomba precisa vencer:
De
H = De

Passo 7

Potência hidráulica (útil) que a bomba entrega ao fluido:
Ph = rho,g,Q,H = 902cdot 9,81cdot 0,01cdot 259,1 approx 2,29times10^4,W = 22,9,kW
Potência mecânica no eixo (considerando eficiência η = 0,85):
Pmec = Pheta = 22,90,85 approx 26,9,kW

Resposta

A potência mecânica necessária no eixo da bomba é de aproximadamente 27 kW.

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