Uma galeria de águas pluviais de 1,0 m de diâmetro escoa uma determinada vazão, em regime uniforme, funcionando na seção de máxima velocidade. Qual deve ser a declividade de fundo para que este escoamento seja crítico? Determine a capacidade de vazão da galeria nestas condições. Adote=0,014.
Q=1,8 m^3 / s I=6,8 cdot 10^-3

Passo 1

Beleza, estamos com uma galeria circular de diâmetro cheia (escoamento cheio) e queremos duas coisas:
  1. A declividade mínima do fundo para que o escoamento seja crítico.
  2. A vazão máxima (capacidade) nesse caso crítico.
Conteúdo envolvido:
  • Fórmula de Manning para escoamento uniforme (rela­ção entre , rugosidade , área molhada , raio hidráulico e declividade ).
  • Condição de escoamento crítico (número de Froude ou, equivalentemente, , onde é a largura do topo do fluxo).
Vamos usar tudo isso passo a passo sem pular nada.

Passo 2

Primeiro identificamos as medidas da seção cheia do tubo:
  • Área da seção molhada A ;=;pi,D^24 ;=;pi,(1,0)^24 ;=;pi4 m^2
  • Perímetro molhado P ;=;pi,D ;=;pi,(1,0) ;=;pi m
  • Raio hidráulico R ;=;AP ;=;pi/4pi ;=;14 m
  • Largura do topo do fluxo (como está cheio, o “topo” é a largura da circunferência aberta) T ;=; D ;=;1,0 m

Passo 3

No escoamento uniforme, Manning dá
Q ;=;1n,A,R^2/3,S^1/2
Para escoamento crítico vale também
Q ;=;A,raizg,AT,
com 1n,A,R^2/3,S^1/2 ;=; A,raizg,AT .
Como queremos a declividade S ;=; gl[n^2,g,ATgr] ;R^-4/3 que faz o escoamento ser simultaneamente uniforme (Manning) e crítico, igualamos as duas expressões de :
Simplificando de ambos os lados e isolando ,

Passo 4

Agora só substituir números:
  1. S = 0,014^2 ;times; 9,81 ;times;pi4 ;times;4^4/3 .
  2. S approx 1,96times10^-4times9,81times0,7854times6,3496 approx9,6times10^-3
  3. , então
Montando:
Vamos aos cálculos aproximados:
Logo
Ou seja, declividade de cerca de 0,96%.

Passo 5

Agora a vazão crítica (que também é a capacidade nesse caso) é
Q = A,raizg,AT = pi4,raiz;9,81;times;pi/41; approx0,7854times2,774 approx2,18 m^3/s

Resposta

Declividade para escoamento crítico:
Sapprox9,6times10^-3(approx0,96%),
Vazão de capacidade (crítica) da galeria cheia:
Qapprox2,18 m^3/s

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