Uma bomba de fornece
de água para uma elevação de pressão de 400 KPa . Uma mudança proposta é testada numa bomba reduzida a uma escala de 1:4. Determine a vazão esperada no estudo do modelo. Se a potência da bomba é de 8000KW qual seria a potência esperada para o protótipo? Dado: Força de arrasto
. R.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bomba que fornece uma certa quantidade de água e aumenta a pressão. Queremos analisar como essa bomba se comporta quando reduzida para um modelo com escala 1:4. Isso envolve entender conceitos de escala e como parâmetros como vazão e potência mudam quando a escala da bomba é alterada. Para resolver, vamos precisar aplicar as leis de semelhança e entender como a vazão e a potência se relacionam com a escala.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma escala de 1:4. Isso quer dizer que todas as dimensões lineares do modelo são 1/4 das dimensões do protótipo. Por exemplo, se o diâmetro de uma parte da bomba no protótipo é 4 metros, no modelo será 1 metro.
Passo 3
Agora, vamos determinar a vazão esperada no modelo. A vazão ($ Q $) está relacionada à área e à velocidade do fluido. Quando a escala linear é $ \lambda = \frac{1}{4} $, a área escala com $ \lambda^2 $ e a vazão com $ \lambda^3 $.
Então, a vazão do modelo ($ Q_m $) pode ser calculada usando a relação:
Onde:
- $ \lambda = \frac{1}{4} $
- $ Q_p = 1,2 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $ (vazão do protótipo)
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
No entanto, geralmente arredondamos para facilitar, então $ Q_m \approx 0,019 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a potência esperada para o protótipo se a potência do modelo ($ P_m $) é 2000 kW. A potência está relacionada à vazão e à pressão. A relação de escala para a potência é $ \lambda^5 $.
A fórmula para encontrar a potência do protótipo ($ P_p $) é:
Onde:
- $ \lambda = \frac{1}{4} $
- $ P_m = 2000 , \mathrm{kW} $
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Portanto, a potência esperada para o protótipo é de aproximadamente 2.048.000 kW.
Resposta
A vazão esperada no modelo é de aproximadamente $ 0,019 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $ e a potência esperada para o protótipo é de cerca de $ 2.048.000 , \mathrm{kW} $.