Uma bomba de fornece 1,2 m^3 / s de água para uma elevação de pressão de 400 KPa . Uma mudança proposta é testada numa bomba reduzida a uma escala de 1:4. Determine a vazão esperada no estudo do modelo. Se a potência da bomba é de 8000KW qual seria a potência esperada para o protótipo? Dado: Força de arrasto = rho V^2 l^2. R. Q(m)=0,3 m^3 / s e P(p)=2000 kW

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bomba que fornece uma certa quantidade de água e aumenta a pressão. Queremos analisar como essa bomba se comporta quando reduzida para um modelo com escala 1:4. Isso envolve entender conceitos de escala e como parâmetros como vazão e potência mudam quando a escala da bomba é alterada. Para resolver, vamos precisar aplicar as leis de semelhança e entender como a vazão e a potência se relacionam com a escala.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma escala de 1:4. Isso quer dizer que todas as dimensões lineares do modelo são 1/4 das dimensões do protótipo. Por exemplo, se o diâmetro de uma parte da bomba no protótipo é 4 metros, no modelo será 1 metro.

Passo 3

Agora, vamos determinar a vazão esperada no modelo. A vazão ($ Q $) está relacionada à área e à velocidade do fluido. Quando a escala linear é $ \lambda = \frac{1}{4} $, a área escala com $ \lambda^2 $ e a vazão com $ \lambda^3 $.
Então, a vazão do modelo ($ Q_m $) pode ser calculada usando a relação:
Q
Onde:
  • $ \lambda = \frac{1}{4} $
  • $ Q_p = 1,2 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $ (vazão do protótipo)

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
Qm = (14)^3 times 1,2 = 164 times 1,2 = 0,01875 , m^3/s
No entanto, geralmente arredondamos para facilitar, então $ Q_m \approx 0,019 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a potência esperada para o protótipo se a potência do modelo ($ P_m $) é 2000 kW. A potência está relacionada à vazão e à pressão. A relação de escala para a potência é $ \lambda^5 $.
A fórmula para encontrar a potência do protótipo ($ P_p $) é:
Pm
Onde:
  • $ \lambda = \frac{1}{4} $
  • $ P_m = 2000 , \mathrm{kW} $

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Pp = 2000(14)^5 = 2000 times 4^5 = 2000 times 1024 = 2.048.000 , kW
Portanto, a potência esperada para o protótipo é de aproximadamente 2.048.000 kW.

Resposta

A vazão esperada no modelo é de aproximadamente $ 0,019 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $ e a potência esperada para o protótipo é de cerca de $ 2.048.000 , \mathrm{kW} $.

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