A componente
de um campo de velocidade estacionário bidimensional, na direção
, é dada por:
na qual
,
,
e
são constantes com dimensões apropriadas. Deduza uma expressão para a componente
, em
com as devidas restrições nas constantes, de modo que o escoamento seja incompressível, irrotacional e possua velocidade nula na origem das coordenadas. Dados:
Divergente:
;
Rotacional:
Divergente:
Rotacional:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre um campo de velocidade bidimensional estacionário, ou seja, que não muda com o tempo, e nos dá a componente $ u $ dessa velocidade na direção $ x $. O lance é encontrar a componente $ v $ na direção $ y $ de tal forma que o fluxo seja incompressível (não muda de volume), irrotacional (sem rotações internas) e que a velocidade seja zero na origem das coordenadas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as ideias de divergente e rotacional. Vamos aplicar essas condições passo a passo para chegar na expressão de $ v $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o fluxo ser incompressível. Isso quer dizer que a divergente do campo de velocidade deve ser igual a zero. A divergente é dada por:
Como o fluxo é bidimensional, a componente $ w $ é zero. Então, simplificando:
Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $ usando a expressão de $ u $:
Derivando em relação a $ x $:
Então, a condição de incompressibilidade fica:
Passo 3
Agora, vamos considerar a condição de que o fluxo deve ser irrotacional. Isso significa que o rotacional do campo de velocidade deve ser igual a zero. O rotacional em duas dimensões (com $ w = 0 $) tem apenas a componente $ k $:
Então, temos:
Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Portanto, a condição de irrotacionalidade é:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações para $ v $:
- $ A + 2C x - D y + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 $ (Incompressibilidade)
- $ \frac{\partial v}{\partial x} = B - D x $ (Irrotacionalidade)
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ v(x, y) $.
Primeiro, integramos a segunda equação em relação a $ x $:
Aqui, $ \phi(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Agora, vamos substituir $ v(x, y) $ na primeira equação:
Derivando em relação a $ y $:
Isso nos dá:
Mas, observe que $ \phi’(y) $ é a derivada de $ \phi $ em relação a $ y $, e não deveria depender de $ x $. A única maneira disso acontecer é se os coeficientes de $ x $ forem nulos. Então, temos:
Mas $ A $ é uma constante, então para que isso seja válido para todo $ y $, devemos ter $ D = 0 $ e $ A = 0 $.
Portanto, as restrições nas constantes são:
Passo 5
Com essas restrições, vamos atualizar a expressão de $ v(x, y) $:
Como $ A = 0 $ e $ C = 0 $, a equação para $ \phi’(y) $ fica:
Integrando, temos:
Agora, aplicamos a condição de que a velocidade deve ser nula na origem, ou seja, $ V(0, 0) = 0 $. Isso significa que $ u(0,0) = 0 $ e $ v(0,0) = 0 $.
Como $ u = A x + B y + C x^{2} - D x y $ e $ A = C = 0 $, temos:
Para $ v $:
Então, a expressão final para $ v(x, y) $ é:
Resposta
A componente $ v $ da velocidade é dada por: