A componente u de um campo de velocidade estacionário bidimensional, na direção x, é dada por:
u=A x+B y+C x^2-D x y
na qual A, B, C e D são constantes com dimensões apropriadas. Deduza uma expressão para a componente v, em y com as devidas restrições nas constantes, de modo que o escoamento seja incompressível, irrotacional e possua velocidade nula na origem das coordenadas. Dados:
Divergente: nabla cdot V=partial upartial x+partial vpartial y+partial wpartial z;
Rotacional: nabla times V=(partial wpartial y-partial vpartial z) i+(partial upartial z-partial wpartial x) j+(partial vpartial x-partial upartial y) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre um campo de velocidade bidimensional estacionário, ou seja, que não muda com o tempo, e nos dá a componente $ u $ dessa velocidade na direção $ x $. O lance é encontrar a componente $ v $ na direção $ y $ de tal forma que o fluxo seja incompressível (não muda de volume), irrotacional (sem rotações internas) e que a velocidade seja zero na origem das coordenadas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as ideias de divergente e rotacional. Vamos aplicar essas condições passo a passo para chegar na expressão de $ v $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o fluxo ser incompressível. Isso quer dizer que a divergente do campo de velocidade deve ser igual a zero. A divergente é dada por:
nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z
Como o fluxo é bidimensional, a componente $ w $ é zero. Então, simplificando:
w
Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $ usando a expressão de $ u $:
nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y = 0
Derivando em relação a $ x $:
partial upartial x
Então, a condição de incompressibilidade fica:
u

Passo 3

Agora, vamos considerar a condição de que o fluxo deve ser irrotacional. Isso significa que o rotacional do campo de velocidade deve ser igual a zero. O rotacional em duas dimensões (com $ w = 0 $) tem apenas a componente $ k $:
w = 0
Então, temos:
k
Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
nabla times V = ( partial vpartial x - partial upartial y ) k = 0
Portanto, a condição de irrotacionalidade é:
partial vpartial x - partial upartial y = 0

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações para $ v $:
  1. $ A + 2C x - D y + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 $ (Incompressibilidade)
  2. $ \frac{\partial v}{\partial x} = B - D x $ (Irrotacionalidade)
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ v(x, y) $.
Primeiro, integramos a segunda equação em relação a $ x $:
v
Aqui, $ \phi(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Agora, vamos substituir $ v(x, y) $ na primeira equação:
A + 2C x - D y + partial vpartial y = 0
Derivando em relação a $ y $:
partial vpartial x = B - D x
Isso nos dá:
v(x, y)
Mas, observe que $ \phi’(y) $ é a derivada de $ \phi $ em relação a $ y $, e não deveria depender de $ x $. A única maneira disso acontecer é se os coeficientes de $ x $ forem nulos. Então, temos:
x
v(x, y) = integral (B - D x) dx = B x - D2 x^2 + phi(y)
Mas $ A $ é uma constante, então para que isso seja válido para todo $ y $, devemos ter $ D = 0 $ e $ A = 0 $.
Portanto, as restrições nas constantes são:
phi(y)

Passo 5

Com essas restrições, vamos atualizar a expressão de $ v(x, y) $:
v(x, y)
Como $ A = 0 $ e $ C = 0 $, a equação para $ \phi’(y) $ fica:
v(x, y) = B x - D2 x^2 + phi(y)
Integrando, temos:
A = 0
Agora, aplicamos a condição de que a velocidade deve ser nula na origem, ou seja, $ V(0, 0) = 0 $. Isso significa que $ u(0,0) = 0 $ e $ v(0,0) = 0 $.
Como $ u = A x + B y + C x^{2} - D x y $ e $ A = C = 0 $, temos:
C = 0
Para $ v $:
phi'(y)
Então, a expressão final para $ v(x, y) $ é:
0 + 0 + 0 + phi'(y) = 0 implies phi'(y) = 0

Resposta

A componente $ v $ da velocidade é dada por:
v

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