3.2* Uma bomba, movendo-se com velocidade
exatamente horizontal e na direção norte, explode em dois fragmentos de massas iguais. Observa-se, logo após a explosāo, que um dos fragmentos se move verticalmente para cima com velocidade
. Qual é a velocidade do outro fragmento?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Uma bomba, de massa total que chamaremos de
, move-se com velocidade exatamente horizontal e na direção norte, de módulo . Ou seja, o vetor velocidade inicial é , onde aponta para o norte. - A bomba explode em dois fragmentos de massas iguais, portanto cada fragmento tem massa
. - Observa-se, logo após a explosão, que um dos fragmentos se move verticalmente para cima com velocidade de módulo
. Vou chamar esse fragmento de fragmento 1 e sua velocidade de , onde aponta para cima. - O que o enunciado pede: determinar a velocidade (vetorial e/ou módulo) do outro fragmento (fragmento 2), que chamaremos
.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicado passo a passo):
- Quando não há impulsos externos atuando instantaneamente durante a explosão, o momento linear total do sistema é conservado. Isso significa que o vetor soma dos momentos antes da explosão é igual ao vetor soma dos momentos depois.
- O momento linear de um corpo é o produto da sua massa pela sua velocidade. Para uma massa
com velocidade , o momento é . - Aplicando conservação do momento ao sistema bomba (antes: uma peça de massa
; depois: duas de massa cada):
- Aqui cada termo é um vetor; devemos tratar as componentes (norte/sul e cima/baixo) separadamente porque momento é vetorial.
Passo 3
Simplificação da equação de conservação:
- Na equação acima podemos dividir ambos os lados por
(assumindo ), pois é comum a todas as parcelas. Fazendo isso:
- Agora substituímos os vetores conhecidos:
e . Assim:
Passo 4
Isolando
e interpretando componentes:
- Subtraindo
de ambos os lados obtemos
- Podemos fatorar
:
- Interpretação das componentes:
- Componente norte (horizontal):
. - Componente vertical (para cima positiva):
(logo, o fragmento 2 vai para baixo com módulo ).
- Componente norte (horizontal):
Passo 5
Cálculo do módulo da velocidade do fragmento 2 e informação sobre a direção:
- Como as componentes norte e vertical são ortogonais, o módulo segue o teorema de Pitágoras:
- Calculando:
- Direção (opcional, mas útil na prova): o vetor aponta para o norte e para baixo. O ângulo
abaixo da horizontal satisfa z
logo
abaixo da horizontal, medido a partir do norte horizontal.