3.2* Uma bomba, movendo-se com velocidade v_{0} exatamente horizontal e na direção norte, explode em dois fragmentos de massas iguais. Observa-se, logo após a explosāo, que um dos fragmentos se move verticalmente para cima com velocidade v_{0}. Qual é a velocidade do outro fragmento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Uma bomba, de massa total que chamaremos de M, move-se com velocidade exatamente horizontal e na direção norte, de módulo v_{0}. Ou seja, o vetor velocidade inicial é \vec{v}_{\text{ini}} = v_{0}\,\hat{y}, onde \hat{y} aponta para o norte.
  • A bomba explode em dois fragmentos de massas iguais, portanto cada fragmento tem massa \dfrac{M}{2}.
  • Observa-se, logo após a explosão, que um dos fragmentos se move verticalmente para cima com velocidade de módulo v_{0}. Vou chamar esse fragmento de fragmento 1 e sua velocidade de \vec{v}_{1} = v_{0}\,\hat{z}, onde \hat{z} aponta para cima.
  • O que o enunciado pede: determinar a velocidade (vetorial e/ou módulo) do outro fragmento (fragmento 2), que chamaremos \vec{v}_{2}.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Quando não há impulsos externos atuando instantaneamente durante a explosão, o momento linear total do sistema é conservado. Isso significa que o vetor soma dos momentos antes da explosão é igual ao vetor soma dos momentos depois.
  • O momento linear de um corpo é o produto da sua massa pela sua velocidade. Para uma massa m com velocidade \vec{v}, o momento é \vec{p}=m\,\vec{v}.
  • Aplicando conservação do momento ao sistema bomba (antes: uma peça de massa M; depois: duas de massa M/2 cada):
M\,\vec{v}_{\text{ini}} = \frac{M}{2}\,\vec{v}_{1} + \frac{M}{2}\,\vec{v}_{2}.
  • Aqui cada termo é um vetor; devemos tratar as componentes (norte/sul e cima/baixo) separadamente porque momento é vetorial.

Passo 3

Simplificação da equação de conservação:
  • Na equação acima podemos dividir ambos os lados por \dfrac{M}{2} (assumindo M\neq 0), pois é comum a todas as parcelas. Fazendo isso:
2\,\vec{v}_{\text{ini}} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2}.
  • Agora substituímos os vetores conhecidos: \vec{v}_{\text{ini}} = v_{0}\,\hat{y} e \vec{v}_{1}=v_{0}\,\hat{z}. Assim:
2\,(v_{0}\,\hat{y}) = v_{0}\,\hat{z} + \vec{v}_{2}.

Passo 4

Isolando \vec{v}_{2} e interpretando componentes:
  • Subtraindo v_{0}\,\hat{z} de ambos os lados obtemos
\vec{v}_{2} = 2\,v_{0}\,\hat{y} - v_{0}\,\hat{z}.
  • Podemos fatorar v_{0}:
\vec{v}_{2} = v_{0}\,(2\,\hat{y} - \hat{z}).
  • Interpretação das componentes:
    • Componente norte (horizontal): v_{y}=2\,v_{0}.
    • Componente vertical (para cima positiva): v_{z}=-v_{0} (logo, o fragmento 2 vai para baixo com módulo v_{0}).

Passo 5

Cálculo do módulo da velocidade do fragmento 2 e informação sobre a direção:
  • Como as componentes norte e vertical são ortogonais, o módulo segue o teorema de Pitágoras:
\lvert \vec{v}_{2}\rvert = \sqrt{v_{y}^{2} + v_{z}^{2}} = \sqrt{(2\,v_{0})^{2} + (-v_{0})^{2}}.
  • Calculando:
\lvert \vec{v}_{2}\rvert = v_{0}\,\sqrt{4 + 1} = v_{0}\,\sqrt{5}.
  • Direção (opcional, mas útil na prova): o vetor aponta para o norte e para baixo. O ângulo \theta abaixo da horizontal satisfa z
\tan\theta = \frac{\lvert v_{z}\rvert}{v_{y}} = \frac{v_{0}}{2\,v_{0}} = \frac{1}{2},
logo \theta = \arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right) abaixo da horizontal, medido a partir do norte horizontal.

Resposta

\vec{v}_{2}=v_{0}\,(2\,\hat{y}-\hat{z})
\lvert \vec{v}_{2}\rvert = v_{0}\sqrt{5}

Exercícios relacionados