Uma força agindo sobre uma partícula em movimento no plano x y é dada por \vec{F}=2 x \vec{\imath}+y^{2} \vec{\jmath} age sobre um corpo quando ele se move na direção x a partir da origem até x=4 \mathrm{~m}. Todas as grandezas estão em unidades do SI.
a) (0,5) Escreva a expressão geral para o trabalho.
b) (1,0) Usando a expressão do item (a), calcule o trabalho realizado pela força sobre o corpo.
c) (0,5) Considerando que o trabalho foi realizado em 5 segundos, qual a potência desenvolvida?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) escrever a expressão geral para o trabalho realizado por uma força;
(b) calcular numericamente esse trabalho quando a partícula se desloca ao longo da direção x da origem até x=4\\ \mathrm{m};
(c) calcular a potência desenvolvida se esse trabalho foi feito em 5 segundos.
Dados fornecidos:
\vec{F}=2x\,\vec{\imath}+y^{2}\,\vec{\jmath}.
O movimento ocorre "na direção x" da origem até x=4\\ \mathrm{m}, o que significa que o trajeto é sobre o eixo x (ou seja, y=0 ao longo do trajeto). Todas as grandezas estão no SI.

Passo 2

Definição e fórmula geral do trabalho que vamos usar (aulas rápidas):
  • O trabalho realizado por uma força variável \vec{F} ao longo de uma curva C é o integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • Aqui \vec{F}\cdot d\vec{r} é o produto escalar (dot product) entre o vetor força e o deslocamento infinitesimal. O produto escalar entre dois vetores em coordenadas cartesianas é a soma dos produtos das componentes correspondentes; se \vec{A}=A_x\vec{\imath}+A_y\vec{\jmath} e \vec{B}=B_x\vec{\imath}+B_y\vec{\jmath}, então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_x B_x + A_y B_y.
  • O deslocamento infinitesimal é d\vec{r}=dx\,\vec{\imath}+dy\,\vec{\jmath}.
Aplicando isso à nossa força \vec{F}=2x\,\vec{\imath}+y^{2}\,\vec{\jmath} obtemos o integrando:
\vec{F}\cdot d\vec{r}=(2x)\,dx+(y^{2})\,dy.
Portanto, a expressão geral para o trabalho (resposta do item (a)) é
W=\int_{C}\bigl(2x\,dx + y^{2}\,dy\bigr).

Passo 3

Agora adaptamos a expressão ao trajeto dado: o corpo se move ao longo do eixo x da origem até x=4\\ \mathrm{m}. Isso significa que, ao longo do caminho, y=0 e portanto dy=0. Substituindo na expressão do integrando:
\vec{F}\cdot d\vec{r}=(2x)\,dx + (0)\,dy = 2x\,dx.
Logo o trabalho ao longo do eixo x fica um integral simples em x.

Passo 4

Cálculo do integral (item (b)) passo a passo:
W=\int_{x=0}^{x=4} 2x\,dx.
Calcule a primitiva: uma primitiva de 2x é x^{2}, pois \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x. Então
W=\bigl[x^{2}\bigr]_{0}^{4}=4^{2}-0^{2}=16.
Colocando a unidade do SI, o trabalho realizado é 16\\ \mathrm{J}. (Intuição: o trabalho é positivo porque a componente da força na direção do deslocamento é positiva na maior parte do intervalo.)

Passo 5

Definição e cálculo da potência média (item (c)):
  • A potência média \bar{P} associada a um trabalho W realizado durante um intervalo de tempo \Delta t é
\bar{P}=\frac{W}{\Delta t}.
  • Aqui W=16\\ \mathrm{J} e \Delta t=5\\ \mathrm{s}. Logo
\bar{P}=\frac{16\\ \mathrm{J}}{5\\ \mathrm{s}}=3,2\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) \displaystyle W=\int_{C}\bigl(2x\,dx+y^{2}\,dy\bigr)
(b) \displaystyle W=16\\ \mathrm{J}
(c) \displaystyle \bar{P}=3,2\\ \mathrm{W}

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