Uma força agindo sobre uma partícula em movimento no plano
é dada por
age sobre um corpo quando ele se move na direção
a partir da origem até
. Todas as grandezas estão em unidades do SI.
a)
Escreva a expressão geral para o trabalho.
b)
Usando a expressão do item (a), calcule o trabalho realizado pela força sobre o corpo.
c)
Considerando que o trabalho foi realizado em 5 segundos, qual a potência desenvolvida?
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) escrever a expressão geral para o trabalho realizado por uma força;
(b) calcular numericamente esse trabalho quando a partícula se desloca ao longo da direção da origem até
;
(c) calcular a potência desenvolvida se esse trabalho foi feito em segundos.
(a) escrever a expressão geral para o trabalho realizado por uma força;
(b) calcular numericamente esse trabalho quando a partícula se desloca ao longo da direção
(c) calcular a potência desenvolvida se esse trabalho foi feito em
Dados fornecidos:
.
O movimento ocorre "na direção " da origem até
, o que significa que o trajeto é sobre o eixo
(ou seja,
ao longo do trajeto). Todas as grandezas estão no SI.
O movimento ocorre "na direção
Passo 2
Definição e fórmula geral do trabalho que vamos usar (aulas rápidas):
- O trabalho realizado por uma força variável
ao longo de uma curva é o integral de linha
- Aqui
é o produto escalar (dot product) entre o vetor força e o deslocamento infinitesimal. O produto escalar entre dois vetores em coordenadas cartesianas é a soma dos produtos das componentes correspondentes; se e , então
- O deslocamento infinitesimal é
.
Aplicando isso à nossa força
obtemos o integrando:
Portanto, a expressão geral para o trabalho (resposta do item (a)) é
Passo 3
Agora adaptamos a expressão ao trajeto dado: o corpo se move ao longo do eixo
da origem até
. Isso significa que, ao longo do caminho,
e portanto
. Substituindo na expressão do integrando:
Logo o trabalho ao longo do eixo
fica um integral simples em
.
Passo 4
Cálculo do integral (item (b)) passo a passo:
Calcule a primitiva: uma primitiva de
é
, pois
. Então
Colocando a unidade do SI, o trabalho realizado é
. (Intuição: o trabalho é positivo porque a componente da força na direção do deslocamento é positiva na maior parte do intervalo.)
Passo 5
Definição e cálculo da potência média (item (c)):
- A potência média
associada a um trabalho realizado durante um intervalo de tempo é
- Aqui
e . Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)