Uma caixa se move a 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido positivo do eixo x devido a uma força de 4 N que faz um ângulo de 60 graus com a horizontal. Ao mesmo tempo uma força de 2 N no sentido negativo do eixo x se opõe ao movimento.
Qual é a potência devido a cada uma das forças ?
Qual a potência total sobre a caixa ?

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede):
  • A caixa tem velocidade \mathbf{v} no sentido positivo do eixo x com módulo \left|\mathbf{v}\right| = 3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Existe uma força de módulo 4\\ \mathrm{N} que faz um ângulo de 60^\circ com a horizontal (ou seja, com a direção de \mathbf{v}).
  • Existe uma segunda força de módulo 2\\ \mathrm{N} no sentido negativo do eixo x (ou seja, oposta à velocidade).
  • Perguntas: qual é a potência devido a cada uma das forças? qual é a potência total sobre a caixa?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A potência instantânea que uma força \mathbf{F} aplica sobre um corpo que se move com velocidade \mathbf{v} é o produto escalar entre \mathbf{F} e \mathbf{v}:
P = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = F\,v\cos\theta,
onde F é o módulo da força, v é o módulo da velocidade e \theta é o ângulo entre \mathbf{F} e \mathbf{v}.
  • Interpretação física simples: só a componente da força ao longo da velocidade realiza (ou retira) potência. Se a força tem componente paralela à velocidade positiva, ela fornece potência; se a componente paralela é negativa, ela retira potência.
  • Fórmula em componentes (útil quando a velocidade está só em x):
P = F_x v_x + F_y v_y.
No nosso caso v é somente horizontal, então v_y=0 e P = F_x v.

Passo 3

Componentes da força de 4\\ \mathrm{N} (desenvolvimento passo a passo):
  • A força forma \,60^\circ com a horizontal. A componente horizontal (paralela à velocidade) é
F_{1x} = 4\cos 60^\circ = 4\cdot\frac{1}{2} = 2\\ \mathrm{N}.
  • A componente vertical é
F_{1y} = 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\\ \mathrm{N}.
  • Observação importante: como a velocidade não tem componente vertical ( v_y=0), a componente vertical F_{1y} não contribui para a potência.

Passo 4

Cálculo da potência devido à força de 4\\ \mathrm{N}:
  • Usando P = F_x v com F_{1x}=2\\ \mathrm{N} e v=3{,}0\\ \mathrm{m/s}:
P_1 = F_{1x}\,v = 2\cdot 3{,}0 = 6\\ \mathrm{W}.
  • Alternativamente, com P=Fv\cos\theta:
P_1 = 4\cdot 3{,}0\cdot\cos 60^\circ = 12\cdot\frac{1}{2}=6\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Cálculo da potência devido à força de 2\\ \mathrm{N} no sentido negativo de x:
  • A componente horizontal desta força é F_{2x} = -2\\ \mathrm{N} (sinal negativo indica sentido oposto ao de v). Não há componente vertical relevante.
  • Então
P_2 = F_{2x}\,v = (-2)\cdot 3{,}0 = -6\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: o sinal negativo indica que essa força retira energia cinética (está fazendo trabalho contrário ao movimento).

Passo 6

Potência total sobre a caixa:
  • A potência total é a soma das potências das forças:
P_{\text{total}} = P_1 + P_2 = 6 + (-6) = 0\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação física final: potência total nula significa que, naquele instante, não há variação da energia cinética causada por essas forças na direção do movimento. (A componente vertical da força de 4\\ \mathrm{N} não faz potência porque não há movimento vertical.)

Resposta

P_{\text{(4 N, 60^\circ)}} = 6\\ \mathrm{W}
P_{\text{(2 N, -x)}} = -6\\ \mathrm{W}
P_{\text{total}} = 0\\ \mathrm{W}

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