) Uma bomba, movendo-se com velocidade \vec{v}_{0} explode em três pedaços de massas iguais. Logo após a explosão, um dos pedaços tem velocidade \vec{v}_{1}=\vec{v}_{0} e os outros dois têm velocidades \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3}, que são iguais em magnitude (isto é, v_{2}=v_{3} ), mas são mutuamente perpendiculares. (a) Determine \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} e esboce o gráfico dos três vetores velocidade. (b) A energia cinética após a explosão aumentou, diminuiu ou permaneceu constante? Justifique.
Dica: Se necessário, lembre-se da relação trigonométrica: \sin (a-b)=\sin a \cos b-\sin b \cos a.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar TUDO que aparece no problema):
A bomba tem massa total 3m (ela explode em três pedaços de massas iguais; chamo cada massa de m).
Antes da explosão a bomba se move com velocidade \vec{v}_{0}.
Após a explosão, os três pedaços têm velocidades \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}.
É dado que \vec{v}_{1}=\vec{v}_{0}.
É dado que |\vec{v}_{2}|=|\vec{v}_{3}| (vou chamar esse valor de v) e que \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} são perpendiculares entre si: \vec{v}_{2}\cdot\vec{v}_{3}=0.
O que o problema pede:
(a) Determinar explicitamente \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} (e esboçar o gráfico dos três vetores velocidade).
(b) Dizer se a energia cinética após a explosão aumentou, diminuiu ou permaneceu constante, com justificativa.
Passo 2
Conservação do momento linear (a explicação do porquê):
A explosão é interna ao sistema (não age força externa instantânea que mude o momento total), portanto o momento linear total se conserva.
O momento inicial é (3m)\vec{v}_0. O momento final é m\vec{v}_1+m\vec{v}_2+m\vec{v}_3.
Igualando momento inicial e final e dividindo por m obtemos a equação vetorial:
3\vec{v}_0=\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}_3.
Passo 3
Usar \vec{v}_1=\vec{v}_0 na equação de conservação:
3\vec{v}_0=\vec{v}_0+\vec{v}_2+\vec{v}_3
\Rightarrow \vec{v}_2+\vec{v}_3=2\vec{v}_0.
Portanto os dois vetores \vec{v}_2 e \vec{v}_3, que têm mesma magnitude v e são perpendiculares, devem somar o vetor 2\vec{v}_0.
Passo 4
Modelagem geométrica/algébrica do problema de soma de vetores perpendiculares:
Escrevo \vec{v}_2=v\hat{u} e \vec{v}_3=v\hat{w}, onde \hat{u} e \hat{w} são vetores unitários tais que \hat{u}\cdot\hat{w}=0.
A equação \vec{v}_2+\vec{v}_3=2\vec{v}_0 vira
v(\hat{u}+\hat{w})=2\vec{v}_0.
Isto implica que \hat{u}+\hat{w} é um vetor paralelo a \vec{v}_0 e que o módulo deve satisfazer v\big|\hat{u}+\hat{w}\big|=2|\vec{v}_0|.
Passo 5
Escolha conveniente de sistema de coordenadas (explicação do truque):
Para facilitar os cálculos, escolho o eixo x na direção de \vec{v}_0. Isto é permitido porque a equação é vetorial e invariável por rotação de eixos. Então escrevo
\vec{v}_0 = v_0\,\hat{\mathbf{i}},
onde v_0=|\vec{v}_0| e \hat{\mathbf{i}} é o versor na direção de \vec{v}_0.
Agora procuro dois vetores unitários perpendiculares \hat{u} e \hat{w} em componentes (x,y) tais que \hat{u}+\hat{w} aponte puramente na direção x (isto garante a igualdade vetorial).
Passo 6
Determinação explícita de \hat{u} e \hat{w}:
Tome \hat{u}=(\cos\alpha,\sin\alpha). Um vetor unitário perpendicular a \hat{u} é \hat{w}=(-\sin\alpha,\cos\alpha) (rotação de 90^\circ).
Soma: \vec{v}_2+\vec{v}_3=2v_0\hat{\mathbf{i}}=2\vec{v}_0 (ok, satisfaz conservação do momento).
Passo 8
Forma geral (sem escolher eixos):
Seja \hat{e} o versor na direção de \vec{v}_0 e \hat{n} qualquer versor unitário perpendicular a \hat{e} (isto é, \hat{e}\cdot\hat{n}=0). Então, de forma elegante e coordenada-independente,
Isto é equivalente ao resultado em coordenadas (basta tomar \hat{e}=\hat{\mathbf{i}} e \hat{n}=\hat{\mathbf{j}}).
Passo 9
Esboço do gráfico (descrição):
Desenhar \vec{v}_0 para a direita (eixo x).
\vec{v}_1 coincide com \vec{v}_0.
\vec{v}_2 e \vec{v}_3 são dois vetores de mesmo comprimento \sqrt{2}\,v_0, orientados a 45^\circ acima e a 45^\circ abaixo da direção de \vec{v}_0, com componentes v_0(1,\pm1). O fruto disso é que as projeções x de cada um somam 2v_0 e as projeções y se cancelam.
Passo 10
Energia cinética antes e depois (cálculo e interpretação física):
Portanto a energia cinética aumentou; isso é esperado numa explosão porque parte de energia interna (energia química ou elástica liberada pela explosão) é transformada em energia cinética das peças. A conservação do momento não impede essa troca de energia — apenas garante que o vetor soma dos momentos se mantenha.
Resposta
\vec{v}_2=v_0\big(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}\big),\\ \vec{v}_3=v_0\big(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}\big) (tomando \vec{v}_0=v_0\hat{\mathbf{i}}); equivalentemente \vec{v}_2=v_0(\hat{e}-\hat{n}),\\ \vec{v}_3=v_0(\hat{e}+\hat{n}) com \hat{e} na direção de \vec{v}_0 e \hat{n} perpendicular a \hat{e}.
A energia cinética aumentou: K_{\text{inicial}}=\tfrac{3}{2}m v_0^{2}, K_{\text{final}}=\tfrac{5}{2}m v_0^{2}, aumento igual a m v_0^{2}.