) Uma bomba, movendo-se com velocidade \vec{v}_{0} explode em três pedaços de massas iguais. Logo após a explosão, um dos pedaços tem velocidade \vec{v}_{1}=\vec{v}_{0} e os outros dois têm velocidades \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3}, que são iguais em magnitude (isto é, v_{2}=v_{3} ), mas são mutuamente perpendiculares. (a) Determine \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} e esboce o gráfico dos três vetores velocidade. (b) A energia cinética após a explosão aumentou, diminuiu ou permaneceu constante? Justifique.
Dica: Se necessário, lembre-se da relação trigonométrica: \sin (a-b)=\sin a \cos b-\sin b \cos a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar TUDO que aparece no problema):
  • A bomba tem massa total 3m (ela explode em três pedaços de massas iguais; chamo cada massa de m).
  • Antes da explosão a bomba se move com velocidade \vec{v}_{0}.
  • Após a explosão, os três pedaços têm velocidades \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}.
  • É dado que \vec{v}_{1}=\vec{v}_{0}.
  • É dado que |\vec{v}_{2}|=|\vec{v}_{3}| (vou chamar esse valor de v) e que \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} são perpendiculares entre si: \vec{v}_{2}\cdot\vec{v}_{3}=0.
O que o problema pede:
(a) Determinar explicitamente \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} (e esboçar o gráfico dos três vetores velocidade).
(b) Dizer se a energia cinética após a explosão aumentou, diminuiu ou permaneceu constante, com justificativa.

Passo 2

Conservação do momento linear (a explicação do porquê):
  • A explosão é interna ao sistema (não age força externa instantânea que mude o momento total), portanto o momento linear total se conserva.
  • O momento inicial é (3m)\vec{v}_0. O momento final é m\vec{v}_1+m\vec{v}_2+m\vec{v}_3.
  • Igualando momento inicial e final e dividindo por m obtemos a equação vetorial:
3\vec{v}_0=\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}_3.

Passo 3

Usar \vec{v}_1=\vec{v}_0 na equação de conservação:
3\vec{v}_0=\vec{v}_0+\vec{v}_2+\vec{v}_3
\Rightarrow \vec{v}_2+\vec{v}_3=2\vec{v}_0.
Portanto os dois vetores \vec{v}_2 e \vec{v}_3, que têm mesma magnitude v e são perpendiculares, devem somar o vetor 2\vec{v}_0.

Passo 4

Modelagem geométrica/algébrica do problema de soma de vetores perpendiculares:
  • Escrevo \vec{v}_2=v\hat{u} e \vec{v}_3=v\hat{w}, onde \hat{u} e \hat{w} são vetores unitários tais que \hat{u}\cdot\hat{w}=0.
  • A equação \vec{v}_2+\vec{v}_3=2\vec{v}_0 vira
v(\hat{u}+\hat{w})=2\vec{v}_0.
  • Isto implica que \hat{u}+\hat{w} é um vetor paralelo a \vec{v}_0 e que o módulo deve satisfazer v\big|\hat{u}+\hat{w}\big|=2|\vec{v}_0|.

Passo 5

Escolha conveniente de sistema de coordenadas (explicação do truque):
  • Para facilitar os cálculos, escolho o eixo x na direção de \vec{v}_0. Isto é permitido porque a equação é vetorial e invariável por rotação de eixos. Então escrevo
\vec{v}_0 = v_0\,\hat{\mathbf{i}},
onde v_0=|\vec{v}_0| e \hat{\mathbf{i}} é o versor na direção de \vec{v}_0.
  • Agora procuro dois vetores unitários perpendiculares \hat{u} e \hat{w} em componentes (x,y) tais que \hat{u}+\hat{w} aponte puramente na direção x (isto garante a igualdade vetorial).

Passo 6

Determinação explícita de \hat{u} e \hat{w}:
  • Tome \hat{u}=(\cos\alpha,\sin\alpha). Um vetor unitário perpendicular a \hat{u} é \hat{w}=(-\sin\alpha,\cos\alpha) (rotação de 90^\circ).
  • Então
\hat{u}+\hat{w}=(\cos\alpha-\sin\alpha,\sin\alpha+\cos\alpha).
  • Para que \hat{u}+\hat{w} seja paralelo ao eixo x precisamos da componente y nula:
\sin\alpha+\cos\alpha=0 \quad\Rightarrow\quad \tan\alpha=-1.
  • Uma solução é \alpha=-\pi/4 (equivalente a -45^\circ). Assim
\hat{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\qquad \hat{w}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Verificação rápida: \hat{u}+\hat{w}=(\sqrt{2},0), ou seja, é paralelo ao eixo x e tem módulo \sqrt{2}.

Passo 7

Determinar v (a magnitude comum) e então \vec{v}_2,\vec{v}_3:
  • Da equação v(\hat{u}+\hat{w})=2\vec{v}_0 e usando \hat{u}+\hat{w}=(\sqrt{2},0) e \vec{v}_0=v_0(\,1,0) temos em módulo:
v\sqrt{2}=2v_0 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{2}\,v_0.
  • Assim os vetores são
\vec{v}_2 = v\hat{u} = \sqrt{2}\,v_0\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=v_0\big(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}\big),
\vec{v}_3 = v\hat{w} = \sqrt{2}\,v_0\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=v_0\big(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}\big).
  • Verificações rápidas:
    • |\vec{v}_2|=|\vec{v}_3|=\sqrt{2}\,v_0 (ok).
    • \vec{v}_2\cdot\vec{v}_3 = v_0^2\big((1)(1)+(-1)(1)\big)=0 (são perpendiculares).
    • Soma: \vec{v}_2+\vec{v}_3=2v_0\hat{\mathbf{i}}=2\vec{v}_0 (ok, satisfaz conservação do momento).

Passo 8

Forma geral (sem escolher eixos):
  • Seja \hat{e} o versor na direção de \vec{v}_0 e \hat{n} qualquer versor unitário perpendicular a \hat{e} (isto é, \hat{e}\cdot\hat{n}=0). Então, de forma elegante e coordenada-independente,
\vec{v}_2 = v_0\big(\hat{e}-\hat{n}\big),\qquad \vec{v}_3 = v_0\big(\hat{e}+\hat{n}\big).
  • Isto é equivalente ao resultado em coordenadas (basta tomar \hat{e}=\hat{\mathbf{i}} e \hat{n}=\hat{\mathbf{j}}).

Passo 9

Esboço do gráfico (descrição):
  • Desenhar \vec{v}_0 para a direita (eixo x).
  • \vec{v}_1 coincide com \vec{v}_0.
  • \vec{v}_2 e \vec{v}_3 são dois vetores de mesmo comprimento \sqrt{2}\,v_0, orientados a 45^\circ acima e a 45^\circ abaixo da direção de \vec{v}_0, com componentes v_0(1,\pm1). O fruto disso é que as projeções x de cada um somam 2v_0 e as projeções y se cancelam.

Passo 10

Energia cinética antes e depois (cálculo e interpretação física):
  • Energia cinética inicial:
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}(3m)v_0^{2}=\tfrac{3}{2}m v_0^{2}.
  • Energia cinética final:
K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}m\big(v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}\big).
Substituindo v_1^2=v_0^2 e v_2^2=v_3^2=(\sqrt{2}\,v_0)^2=2v_0^2, obtemos
K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}m\big(v_0^{2}+2v_0^{2}+2v_0^{2}\big)=\tfrac{1}{2}m(5v_0^{2})=\tfrac{5}{2}m v_0^{2}.
  • Comparando:
K_{\text{final}}-\;K_{\text{inicial}}=\tfrac{5}{2}m v_0^{2}-\tfrac{3}{2}m v_0^{2}=m v_0^{2}>0.
Portanto a energia cinética aumentou; isso é esperado numa explosão porque parte de energia interna (energia química ou elástica liberada pela explosão) é transformada em energia cinética das peças. A conservação do momento não impede essa troca de energia — apenas garante que o vetor soma dos momentos se mantenha.

Resposta

\vec{v}_2=v_0\big(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}\big),\\ \vec{v}_3=v_0\big(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}\big) (tomando \vec{v}_0=v_0\hat{\mathbf{i}}); equivalentemente \vec{v}_2=v_0(\hat{e}-\hat{n}),\\ \vec{v}_3=v_0(\hat{e}+\hat{n}) com \hat{e} na direção de \vec{v}_0 e \hat{n} perpendicular a \hat{e}.
A energia cinética aumentou: K_{\text{inicial}}=\tfrac{3}{2}m v_0^{2}, K_{\text{final}}=\tfrac{5}{2}m v_0^{2}, aumento igual a m v_0^{2}.

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