Uma bomba propulsora de 10 pés de diâmetro está instalada para distribuir uma grande quantidade de água entre dois reservatórios com diferença de 8,5 pés na elevação da superfície da água. A força de eixo fornecida à bomba é de 2.000 hp . A bomba opera com 80 por cento de sua eficiência. Determine a taxa de descarga e a pressão anterior à bomba se a pressão depois da bomba for de 12 psi. Assuma que o comprimento do turbo se mantém uniforme.

Passo 1

O enunciado dá uma bomba impulsionando água de um reservatório até outro com diferença de nível de 8,5 ft. A bomba recebe P_{\text{eixo}}=2000 hp e funciona com eficiência \eta=0,80. A pressão imediatamente após a bomba (ponto 2) é p_{2}=12 psi (gauge). A tubulação tem diâmetro uniforme D=10 ft, logo a velocidade de escoamento é a mesma antes e depois da bomba. Precisamos achar a vazão Q e a pressão antes da bomba p_{1} (gauge).

Passo 2

Área da tubulação e velocidade em função de Q:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi\,(10)^{2}}{4}=25\pi\\ \text{ft}^{2},
v=\frac{Q}{A}=\frac{Q}{25\pi}.

Passo 3

Equação de potência útil da bomba, relacionando potência de eixo, eficiência e altura manométrica total H:
P_{\text{eixo}}\;\eta =\gamma\,Q\,H,
onde \gamma=62{,}4 lb/ft ^3 e
H =\Delta z\;+\;\frac{p_{2}-p_{1}}{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad 2000\cdot550\cdot0,80 =62{,}4\,Q\Bigl(8,5+\frac{p_{2}-p_{1}}{62{,}4}\Bigr).

Passo 4

Converter p_{2}=12 psi para lb/ft ^2:
p_{2}=12\times144=1728\\ \text{lb/ft}^{2}.
Logo a equação da bomba fica
880000 =62{,}4\,Q\Bigl(8,5+\frac{1728-p_{1}}{62{,}4}\Bigr).

Passo 5

Relação entre p_{1} e Q na sucção, usando Bernoulli sem perdas entre reservatório (superfície aberta, p_{\text{atm}}=0 gauge, v\approx0) e entrada da bomba (mesma v do escoamento):
\frac{p_{1}}{\gamma}+\frac{v^{2}}{2g}=0 \;\Longrightarrow\; p_{1} =-\gamma\,\frac{v^{2}}{2g} =-62{,}4\;\frac{\bigl(\tfrac{Q}{25\pi}\bigr)^{2}}{2\cdot32{,}2}.
Em lb/ft ^2:
p_{1} =-0{,}0001571\,Q^{2}.

Passo 6

Substituindo p_{1} na equação da bomba e isolando Q:
880000 =62{,}4\,Q\Bigl(8,5+\frac{1728-(-0{,}0001571\,Q^{2})}{62{,}4}\Bigr) \;\Longrightarrow\; 2{,}516\times10^{-6}\,Q^{3} +36{,}1923\,Q -14102{,}56 =0.
A solução numérica positiva desta equação é
Q\approx386{,}1\\ \text{ft}^{3}/s.

Passo 7

Com Q em mãos, calcula-se p_{1} em psi:
p_{1}=-0{,}0001571\,(386{,}1)^{2}\approx -23{,}4\\ \text{lb/ft}^{2} \quad\Longrightarrow\quad p_{1}\approx\frac{-23{,}4}{144}=-0{,}1625\\ \text{psi}.

Resposta

Vazão de descarga: Q\approx386{,}1\\ \text{ft}^3/s.
Pressão antes da bomba: p_{1}\approx -0{,}16\\ \text{psi} (gauge).

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