5.1.2 Uma bomba é necessária para drenar rapidamente um pequeno lago antes que a barragem de terra desmorone. A água deve ser bombeada do topo da barragem, que está cerca de 2 m acima da superfície da água. A única bomba disponível é uma antiga bomba propulsora de 10 cm de diâmetro. A potência exigida pelo motor é de 1.000 W , e a combinação bomba-motor tem uma eficiência abaixo de 50 por cento. Quantos centímetros o lago baixará no primeiro período de 24 horas se sua área de superfície for de 5.000 \mathrm{~m}^{2} ? (Tanto as perdas de atrito quanto as perdas menores são insignificantes se comparadas à altura de posição que a bomba deve ultrapassar.)
\end{abstract}

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantos centímetros a lâmina d’água de um lago baixa em 24 h, sabendo que uma bomba de potência do motor P_{\text{mot}}=1\,000,W eleva a água a uma altura h=2,m com eficiência \eta=50\% e que a área da superfície do lago é A=5\,000, m^{2}. Vamos usar o balanço de potência entre a potência hidráulica útil e a potência fornecida pelo motor, desprezando perdas por atrito.

Passo 2

A potência hidráulica útil P_{\text{hid}} está relacionada à vazão volumétrica Q pela fórmula
P_{\text{hid}} = \rho\,g\,Q\,h,
onde \rho=1\,000,kg/ m^{3} é a densidade da água e g=9{,}81,m/ s^{2} é a aceleração gravitacional.

Passo 3

Como a bomba-motor tem eficiência \eta, a potência hidráulica útil é
P_{\text{hid}} = \eta\,P_{\text{mot}} = 0{,}50 \times 1\,000\\ = 500\\ \text{W}.
Substituindo em P_{\text{hid}} = \rho g Q h, obtemos a vazão
Q = \frac{P_{\text{hid}}}{\rho\,g\,h} = \frac{500}{1\,000 \times 9{,}81 \times 2} \approx 0{,}02548\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 4

O volume de água removido em t=24,h ( t=24\times 3600=86\,400,s) é
V = Q\,t = 0{,}02548 \times 86\,400 \approx 2\,204{,}6\\ \text{m}^3.

Passo 5

Distribuindo esse volume sobre a área A do lago, a redução de lâmina \Delta h é
\Delta h = \frac{V}{A} = \frac{2\,204{,}6}{5\,000} \approx 0{,}4409\\ \text{m} = 44{,}1\\ \text{cm}.

Resposta

A lâmina d’água do lago baixará aproximadamente 44 cm no primeiro período de 24 horas.

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