Uma bomba radial possui as seguintes dimensões: i) diâmetro do rotor na saída
[m], ii) largura da pá na saída
, iii) diâmetro na entrada
, iv) ângulo construtivo na entrada
, igual ao ângulo construtivo na saída. Considerando entrada sem choque, rotor de seção constante e rotação de 3.600 [RPM], calcule a vazão, a altura de elevação e a potência de eixo utilizando rendimento hidráulico de
e rendimento mecânico de
.
Passo 1
A questão pede para calcular a vazão volumétrica (Q), a altura hidráulica (H) e a potência de eixo (Pₑ) de uma bomba radial, usando a teoria de Euler para turbomáquinas, a continuidade de fluxo e as eficiências hidráulica (ηₕ) e mecânica (ηₘ). Vamos precisar de: velocidade angular ω, raios de entrada e saída, velocidade periférica (U), áreas de fluxo, triângulos de velocidades e a equação de Euler.
Passo 2
Dados: rotação N=3600 rpm, diâmetros D₁=0,125 m e D₂=0,25 m, largura b=0,04 m, ângulo de pá β₁=β₂=25°, sem pré-arremetimento (V_{u1}=0), ηₕ=75 %, ηₘ=90 %.
Passo 3
Calcular ω, raios e velocidades periféricas:
[\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi\cdot3600}{60} = 120\pi\ \mathrm{rad/s}}
[R_1 = D_1/2 = 0{,}125/2 = 0{,}0625\ \mathrm{m}, \quad R_2 = D_2/2 = 0{,}25/2 = 0{,}125\ \mathrm{m}}
[U_1 = \omega R_1 = 120\pi\cdot0{,}0625 = 7{,}5\pi \approx23{,}56\ \mathrm{m/s}}
[U_2 = \omega R_2 = 120\pi\cdot0{,}125 = 15\pi \approx47{,}12\ \mathrm{m/s}}]
[\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi\cdot3600}{60} = 120\pi\ \mathrm{rad/s}}
[R_1 = D_1/2 = 0{,}125/2 = 0{,}0625\ \mathrm{m}, \quad R_2 = D_2/2 = 0{,}25/2 = 0{,}125\ \mathrm{m}}
[U_1 = \omega R_1 = 120\pi\cdot0{,}0625 = 7{,}5\pi \approx23{,}56\ \mathrm{m/s}}
[U_2 = \omega R_2 = 120\pi\cdot0{,}125 = 15\pi \approx47{,}12\ \mathrm{m/s}}]
Passo 4
Para entrada sem choque, V_{u1}=0 e o fluxo se ajusta à lâmina:
[\tan\beta_1 = \frac{V_r}{U_1} ;\Rightarrow; V_r = U_1\tan25^\circ = 23{,}56\times0{,}4663 \approx10{,}99\ \mathrm{m/s}]
[\tan\beta_1 = \frac{V_r}{U_1} ;\Rightarrow; V_r = U_1\tan25^\circ = 23{,}56\times0{,}4663 \approx10{,}99\ \mathrm{m/s}]
Passo 5
A área de fluxo constante no rotor é
[A = \pi D_2 b = \pi\times0{,}25\times0{,}04 = 0{,}01\pi \approx0{,}0314\ \mathrm{m^2}]
Logo a vazão é
[Q = A\cdot V_r = 0{,}0314\times10{,}99 \approx0{,}345\ \mathrm{m^3/s}]
[A = \pi D_2 b = \pi\times0{,}25\times0{,}04 = 0{,}01\pi \approx0{,}0314\ \mathrm{m^2}]
Logo a vazão é
[Q = A\cdot V_r = 0{,}0314\times10{,}99 \approx0{,}345\ \mathrm{m^3/s}]
Passo 6
Agora o componente tangencial da saída V_{u2} obtém-se pelo triângulo de saída:
[W_{u2} = \frac{V_r}{\tan\beta_2} = \frac{10{,}99}{0{,}4663} \approx23{,}56\ \mathrm{m/s}]
[V_{u2} = U_2 - W_{u2} = 47{,}12 - 23{,}56 = 23{,}56\ \mathrm{m/s}]
[W_{u2} = \frac{V_r}{\tan\beta_2} = \frac{10{,}99}{0{,}4663} \approx23{,}56\ \mathrm{m/s}]
[V_{u2} = U_2 - W_{u2} = 47{,}12 - 23{,}56 = 23{,}56\ \mathrm{m/s}]
Passo 7
Aplicando a equação de Euler para altura (g=9,81 m/s²):
[H = \frac{U_2,V_{u2} - U_1,V_{u1}}{g} = \frac{47{,}12\times23{,}56 - 23{,}56\times0}{9{,}81} \approx113{,}2\ \mathrm{m}]
[H = \frac{U_2,V_{u2} - U_1,V_{u1}}{g} = \frac{47{,}12\times23{,}56 - 23{,}56\times0}{9{,}81} \approx113{,}2\ \mathrm{m}]
Passo 8
Potência hidráulica e potência de eixo: densidade ρ=1000 kg/m³
[P_{h} = \rho g Q H = 1000\cdot9{,}81\cdot0{,}345\cdot113{,}2 \approx3{,}83\times10^5\ \mathrm{W}]
[P_{e} = \frac{P_{h}}{\eta_{h}} = \frac{3{,}83\times10^5}{0{,}75} \approx5{,}11\times10^5\ \mathrm{W} = 511\ \mathrm{kW}]
[P_{h} = \rho g Q H = 1000\cdot9{,}81\cdot0{,}345\cdot113{,}2 \approx3{,}83\times10^5\ \mathrm{W}]
[P_{e} = \frac{P_{h}}{\eta_{h}} = \frac{3{,}83\times10^5}{0{,}75} \approx5{,}11\times10^5\ \mathrm{W} = 511\ \mathrm{kW}]
Passo 9
Se for necessário considerar a eficiência mecânica para a potência do motor:
[P_{m} = \frac{P_{e}}{\eta_{m}} = \frac{5{,}11\times10^5}{0{,}90} \approx5{,}68\times10^5\ \mathrm{W} = 568\ \mathrm{kW}]
[P_{m} = \frac{P_{e}}{\eta_{m}} = \frac{5{,}11\times10^5}{0{,}90} \approx5{,}68\times10^5\ \mathrm{W} = 568\ \mathrm{kW}]
Resposta
Q ≈ 0,345 m³/s, H ≈ 113,2 m, Pₑ ≈ 511 kW (Pₘ ≈ 568 kW se considerada a eficiência mecânica).