Uma bomba térmica é usada para aquecer um edifício. Do lado de fora a temperatura é -50 C e dentro do edifício deve ser mantida a 220 C . O coeficiente de performance é 3,8 e a bombo injeta 1,8 \mathrm{Mcal} de calor no edifício por hora. A que taxa devemos realizar trabalho para manter a bomba operando?

Passo 1

Temos uma bomba térmica que injeta Q_h=1{,}8\;\mathrm{Mcal} de calor por hora no edifício, mantendo a temperatura interna em 22\,^\circ\mathrm{C} enquanto do lado de fora está -50\,^\circ\mathrm{C}. O coeficiente de performance real (COP) vale 3{,}8. O conteúdo aqui é o conceito de COP de uma bomba de calor, definido como a razão entre o calor fornecido ao ambiente quente e o trabalho de entrada.

Passo 2

A definição de coeficiente de performance para aquecimento é
\mathrm{COP} = \frac{Q_h}{W},
onde Q_h é a taxa de calor entregue ao ambiente interno e W é a potência de trabalho de entrada. Desse modo, isolamos W:
W = \frac{Q_h}{\mathrm{COP}}.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos em unidades de \mathrm{Mcal/h}:
W = \frac{1{,}8\;\mathrm{Mcal/h}}{3{,}8} \approx 0{,}4737\;\mathrm{Mcal/h}.

Passo 4

Agora convertemos \mathrm{Mcal/h} em watts \mathrm{W}=\mathrm{J/s}. Sabendo que
1\;\mathrm{Mcal} = 10^6\;\mathrm{cal},\quad 1\;\mathrm{cal} = 4{,}184\;\mathrm{J},\quad 1\;\mathrm{h} = 3600\;\mathrm{s},
temos
W = 0{,}4737\times10^6\;\mathrm{cal/h}\times4{,}184\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{cal}}\times\frac{1}{3600\;\mathrm{s/h}} \approx 551\;\mathrm{W}.

Resposta

A potência de trabalho necessária é aproximadamente 551\;\mathrm{W} (ou 0{,}55\;\mathrm{kW}).

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