Uma bomba de vácuo opera de tal maneira que ela remove ar de um vaso fechado a uma vazão volumétrica constante de
. Quanto tempo levará para evacuar um vaso de
preenchido inicialmente com ar a uma pressão absoluta de 1 atm até
? O processo é suficientemente lento de tal maneira que o gás no tanque permanece a uma temperatura constante. Considere que o comportamento volumétrico do ar é descrito pela equação dos gases perfeitos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
O enunciado fornece:
- Volume do vaso:
. - Vazão volumétrica constante da bomba:
. - Pressão inicial absoluta do ar:
. - Pressão final desejada:
. - A temperatura do gás no tanque permanece constante durante o processo.
- O ar se comporta como gás perfeito.
- Volume do vaso:
-
O enunciado pede:
- Calcular o tempo
necessário para a pressão cair de até devido à bomba que remove volume a vazão .
- Calcular o tempo
Passo 2
Entendendo a física e as grandezas envolvidas (aula rápida e prática).
- A equação dos gases perfeitos relaciona pressão, volume, número de mols e temperatura:
onde:
-
é a pressão absoluta, -
é o volume do recipiente (aqui constante), -
é o número de mols de gás dentro do vaso, -
é a constante universal dos gases, -
é a temperatura absoluta (aqui constante). -
Como
e são constantes, a quantidade de gás é proporcional à pressão :
- A bomba retira um volume de gás por unidade de tempo
. Esse é a vazão volumétrica medida nas condições do tanque (pressão e temperatura locais). Em cada instante, a quantidade de mols removida por tempo é a densidade molar dentro do tanque multiplicada por :
Aqui o sinal negativo indica que
diminui com o tempo.
Passo 3
Derivação do modelo diferencial que descreve a queda de pressão.
- Substituindo
em temos:
- Igualando as duas expressões para
:
- Substituindo novamente
no membro da direita:
ou seja
- Cancelando o fator comum
(não nulo) e quando aplicável, obtemos a equação diferencial simples:
Comentários didáticos: essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução exponencial. Intuitivamente, a taxa relativa de queda de pressão
é constante e igual a
, o que gera decaimento exponencial.
Passo 4
Solução da equação diferencial (passo a passo para a prova).
- Separe variáveis:
- Integre ambos os lados entre as condições iniciais e no tempo
:
- As integrais resultam em:
- Reescrevendo para
:
- Para achar o tempo
em que , isolamos :
Observação didática: a expressão usa o logaritmo natural e mostra que o tempo cresce com o volume do tanque e com o log da razão de pressões; reduzir a pressão por mais ordens de magnitude exige tempos proporcionais ao log dessa razão.
Passo 5
Substituição dos valores numéricos e cálculo final (contas passo a passo sem calculadora complexa).
- Primeiro calcule a razão
:
- Calcule o logaritmo natural da razão de pressões:
- Multiplicando:
- Arredondando de forma prática para a prova (duas casas decimais):
- Conversão rápida para segundos (se quiser comparar):
.
Passo 6
Comentários finais, interpretação e checagem rápida (motivação amiga).
- O resultado significa que, mantendo a vazão volumétrica constante
medida nas condições do tanque e assumindo temperatura constante, a pressão decai exponencialmente e levará cerca de vinte e quatro minutos para cair de para . - Atenção: na prática, muitas bombas têm vazão nominal medida em condições específicas e a vazão pode variar com a pressão; aqui o enunciado disse que a vazão volumétrica é constante, então o modelo exponencial é válido.
- Bom trabalho por encarar isso! Com esse passo a passo você consegue reproduzir a derivação na prova e justificar cada etapa.