Uma bomba de vácuo opera de tal maneira que ela remove ar de um vaso fechado a uma vazão volumétrica constante de 0,04 \frac{\mathrm{~m}^{3}}{\mathrm{~min}}. Quanto tempo levará para evacuar um vaso de 0,21 \mathrm{~m}^{3} preenchido inicialmente com ar a uma pressão absoluta de 1 atm até 0,01 \mathrm{~atm} ? O processo é suficientemente lento de tal maneira que o gás no tanque permanece a uma temperatura constante. Considere que o comportamento volumétrico do ar é descrito pela equação dos gases perfeitos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado fornece:
    • Volume do vaso: V=0,21\\ \mathrm{m}^3.
    • Vazão volumétrica constante da bomba: Q=0,04\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}.
    • Pressão inicial absoluta do ar: p_0=1\\ \mathrm{atm}.
    • Pressão final desejada: p_f=0,01\\ \mathrm{atm}.
    • A temperatura do gás no tanque permanece constante durante o processo.
    • O ar se comporta como gás perfeito.
  • O enunciado pede:
    • Calcular o tempo t necessário para a pressão cair de p_0 até p_f devido à bomba que remove volume a vazão Q.

Passo 2

Entendendo a física e as grandezas envolvidas (aula rápida e prática).
  • A equação dos gases perfeitos relaciona pressão, volume, número de mols e temperatura:
pV = nRT,
onde:
  • p é a pressão absoluta,
  • V é o volume do recipiente (aqui constante),
  • n é o número de mols de gás dentro do vaso,
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta (aqui constante).
  • Como V e T são constantes, a quantidade de gás n é proporcional à pressão p:
n = \frac{pV}{RT}.
  • A bomba retira um volume de gás por unidade de tempo Q. Esse Q é a vazão volumétrica medida nas condições do tanque (pressão e temperatura locais). Em cada instante, a quantidade de mols removida por tempo é a densidade molar dentro do tanque multiplicada por Q:
\frac{dn}{dt} = -\left(\frac{n}{V}\right) Q.
Aqui o sinal negativo indica que n diminui com o tempo.

Passo 3

Derivação do modelo diferencial que descreve a queda de pressão.
  • Substituindo n = \dfrac{pV}{RT} em \dfrac{dn}{dt} temos:
\frac{dn}{dt} = \frac{V}{RT}\,\frac{dp}{dt}.
  • Igualando as duas expressões para \dfrac{dn}{dt}:
\frac{V}{RT}\,\frac{dp}{dt} = -\left(\frac{n}{V}\right) Q.
  • Substituindo novamente n=\dfrac{pV}{RT} no membro da direita:
\frac{V}{RT}\,\frac{dp}{dt} = -\left(\frac{pV}{RT}\cdot\frac{1}{V}\right) Q
ou seja
\frac{V}{RT}\,\frac{dp}{dt} = -\frac{p}{RT}\,Q.
  • Cancelando o fator comum \dfrac{1}{RT} (não nulo) e V quando aplicável, obtemos a equação diferencial simples:
\frac{dp}{dt} = -\frac{Q}{V}\,p.
Comentários didáticos: essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução exponencial. Intuitivamente, a taxa relativa de queda de pressão \dfrac{1}{p}\dfrac{dp}{dt} é constante e igual a -\dfrac{Q}{V}, o que gera decaimento exponencial.

Passo 4

Solução da equação diferencial (passo a passo para a prova).
  • Separe variáveis:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{Q}{V}\,dt.
  • Integre ambos os lados entre as condições iniciais e no tempo t:
\int_{p_0}^{p(t)} \frac{1}{p}\,dp = -\frac{Q}{V}\int_{0}^{t} dt.
  • As integrais resultam em:
\ln\!\left(\frac{p(t)}{p_0}\right) = -\frac{Q}{V}\,t.
  • Reescrevendo para p(t):
p(t) = p_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{V}\,t\right).
  • Para achar o tempo t em que p(t)=p_f, isolamos t:
\ln\!\left(\frac{p_f}{p_0}\right) = -\frac{Q}{V}\,t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{V}{Q}\ln\!\left(\frac{p_0}{p_f}\right).
Observação didática: a expressão usa o logaritmo natural e mostra que o tempo cresce com o volume do tanque e com o log da razão de pressões; reduzir a pressão por mais ordens de magnitude exige tempos proporcionais ao log dessa razão.

Passo 5

Substituição dos valores numéricos e cálculo final (contas passo a passo sem calculadora complexa).
  • Primeiro calcule a razão V/Q:
\frac{V}{Q} = \frac{0,21}{0,04} = 5,25\\ \text{min}.
  • Calcule o logaritmo natural da razão de pressões:
\ln\!\left(\frac{p_0}{p_f}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{0,01}\right) = \ln(100) = \ln\!\left(10^2\right) = 2\ln(10)\approx 2\cdot 2,302585093 = 4,605170186.
  • Multiplicando:
t = 5,25 \times 4,605170186 \approx 24,1916325\\ \text{min}.
  • Arredondando de forma prática para a prova (duas casas decimais):
t \approx 24,19\\ \text{min}.
  • Conversão rápida para segundos (se quiser comparar): 24,19\\ \text{min}\times 60 \approx 1451,4\\ \text{s}.

Passo 6

Comentários finais, interpretação e checagem rápida (motivação amiga).
  • O resultado significa que, mantendo a vazão volumétrica constante Q medida nas condições do tanque e assumindo temperatura constante, a pressão decai exponencialmente e levará cerca de vinte e quatro minutos para cair de 1\\ \mathrm{atm} para 0,01\\ \mathrm{atm}.
  • Atenção: na prática, muitas bombas têm vazão nominal medida em condições específicas e a vazão pode variar com a pressão; aqui o enunciado disse que a vazão volumétrica é constante, então o modelo exponencial é válido.
  • Bom trabalho por encarar isso! Com esse passo a passo você consegue reproduzir a derivação na prova e justificar cada etapa.

Resposta

t \approx 24{,}19\\ \text{min}

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