Prevê - se a força sobre uma barragem estudando o escoamento de água sobre um modelo com escala de 1:10. Se esperarmos
sobre o modelo, qual vazão seria da barragem? Qual seria a força esperada sobre a barragem se medimos 20 N sobre o modelo. Dado: Força de arrasto
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Qual é a vazão da barragem (protótipo) quando o modelo (escala
) tem vazão de ? - Qual é a força esperada sobre a barragem (protótipo) quando medimos
no modelo?
Informações e dados fornecidos que vamos usar:
- Escala linear do modelo para o protótipo:
(modelo ). - Vazão no modelo:
. - Força medida no modelo:
. - Fórmula dada/útil para força de arrasto (expressão dimensional):
. - Observação: o enunciado sugere resultados próximos a
e — vamos calcular e justificar.
Passo 2
Escolha do critério de semelhança (como escalonar grandezas): para escoamento livre sobre uma barragem/modelo a dominância é gravitacional (efeito de superfície livre), então a semelhança mais adequada é a semelhança de Froude. Vou explicar isso de forma simples:
- A semelhança de Froude significa que a razão entre forças inerciais e forças gravitacionais é a mesma no modelo e no protótipo. A quantidade relevante é o número de Froude
. - Manter
constante implica que as velocidades escalam como a raiz quadrada da escala linear:
Aqui
é a razão de velocidades e
a razão de comprimentos;
é a gravidade (igual nos dois casos).
Agora como a vazão se relaciona com essas grandezas:
- Vazão é área vezes velocidade. Para um escoamento com geometria semelhante:
- Logo a razão de vazões entre protótipo e modelo é
Substituindo
obtemos
Isso quer dizer: a vazão escala como
sob semelhança de Froude.
Passo 3
Cálculo numérico da vazão do protótipo:
- Temos
. Então
- Avaliando numericamente
, logo
- Portanto a vazão do protótipo é
Arredondando para uma casa significativa razoável, temos
. (O valor indicado no enunciado
está muito próximo; pequenas diferenças vêm de arredondamentos intermédios.)
Passo 4
Escalonamento da força usando a expressão dimensional:
- A expressão dimensional usada é
. Vou explicar cada termo: -
é a densidade do fluido (mesma água no modelo e no protótipo, portanto ). -
é uma velocidade característica do escoamento. -
é uma dimensão linear característica (por ex. altura/corda da superfície que sofre o arrasto). - O termo
tem dimensão de força quando multiplicado por (pressão dinâmica vezes área ).
-
Relação de escala para força:
Com
,
e
conhecido, temos
Ou seja, a força escala com o cubo da razão linear sob semelhança de Froude.
Passo 5
Cálculo numérico da força do protótipo:
- Com
, a razão de forças é . - Então
- Convertendo para quilonewtons:
.
Observação motivadora: fica muito elegante — medir apenas 20 N no modelo já garante um valor grande e prático no protótipo porque a escala eleva a força por três ordens de magnitude. Dá pra ver por que modelos em túnel hidráulico são tão úteis!