Prevê - se a força sobre uma barragem estudando o escoamento de água sobre um modelo com escala de 1:10. Se esperarmos 1,8 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} sobre o modelo, qual vazão seria da barragem? Qual seria a força esperada sobre a barragem se medimos 20 N sobre o modelo. Dado: Força de arrasto =\rho V^{2} l^{2} \mathbf{R .} \mathbf{Q}(\mathbf{p})=\mathbf{5 6 8 , 8} \mathbf{m}^{\mathbf{3}} / \mathbf{s} e \mathbf{F}(\mathbf{p})=\mathbf{2 0 k N}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Qual é a vazão da barragem (protótipo) quando o modelo (escala 1:10) tem vazão de \,Q_{\text{modelo}}=1,8\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}?
  • Qual é a força esperada sobre a barragem (protótipo) quando medimos \,F_{\text{modelo}}=20\\ \mathrm{N} no modelo?
Informações e dados fornecidos que vamos usar:
  • Escala linear do modelo para o protótipo: \,L_r=\dfrac{L_{\text{protótipo}}}{L_{\text{modelo}}}=10ó (modelo 1:10).
  • Vazão no modelo: \,Q_{\text{modelo}}=1,8\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Força medida no modelo: \,F_{\text{modelo}}=20\\ \mathrm{N}.
  • Fórmula dada/útil para força de arrasto (expressão dimensional): \,F \propto \rho V^{2} L^{2}.
  • Observação: o enunciado sugere resultados próximos a \,Q_{\text{protótipo}\!}\approx568{,}8\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}ó e \,F_{\text{protótipo}}=20\\ \mathrm{kN}ó — vamos calcular e justificar.

Passo 2

Escolha do critério de semelhança (como escalonar grandezas): para escoamento livre sobre uma barragem/modelo a dominância é gravitacional (efeito de superfície livre), então a semelhança mais adequada é a semelhança de Froude. Vou explicar isso de forma simples:
  • A semelhança de Froude significa que a razão entre forças inerciais e forças gravitacionais é a mesma no modelo e no protótipo. A quantidade relevante é o número de Froude \,Fr=\dfrac{V}{\sqrt{gL}}.
  • Manter Fr constante implica que as velocidades escalam como a raiz quadrada da escala linear:
V_r=\dfrac{V_{\text{protótipo}}}{V_{\text{modelo}}}=\sqrt{L_r}.ó
Aqui V_r é a razão de velocidades e L_r a razão de comprimentos; g é a gravidade (igual nos dois casos).
Agora como a vazão se relaciona com essas grandezas:
  • Vazão é área vezes velocidade. Para um escoamento com geometria semelhante:
Q\sim V\cdot L^{2}.
  • Logo a razão de vazões entre protótipo e modelo é
Q_r=\dfrac{Q_{\text{protótipo}}}{Q_{\text{modelo}}} =V_r\cdot L_r^{2}.ó
Substituindo V_r=\sqrt{L_r} obtemos
Q_r=L_r^{2}\cdot\sqrt{L_r}=L_r^{2{,}5}.
Isso quer dizer: a vazão escala como L^{2{,}5} sob semelhança de Froude.

Passo 3

Cálculo numérico da vazão do protótipo:
  • Temos \,L_r=10. Então
Q_r=10^{2{,}5}=10^{2}\cdot 10^{0{,}5}=100\cdot\sqrt{10}.
  • Avaliando numericamente \sqrt{10}\approx 3{,}16227766, logo
10^{2{,}5}\approx 316{,}227766.
  • Portanto a vazão do protótipo é
Q_{\text{protótipo}}=Q_{\text{modelo}}\cdot Q_r =1{,}8\cdot 316{,}227766\approx 569{,}21\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.ó
Arredondando para uma casa significativa razoável, temos \,Q_{\text{protótipo}}\approx 569{,}2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}ó. (O valor indicado no enunciado \,568{,}8\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} está muito próximo; pequenas diferenças vêm de arredondamentos intermédios.)

Passo 4

Escalonamento da força usando a expressão dimensional:
  • A expressão dimensional usada é \,F\propto \rho V^{2} L^{2}. Vou explicar cada termo:
    • \rho é a densidade do fluido (mesma água no modelo e no protótipo, portanto \rho_{\text{protótipo}}/\rho_{\text{modelo}}=1ó).
    • \,V é uma velocidade característica do escoamento.
    • \,L é uma dimensão linear característica (por ex. altura/corda da superfície que sofre o arrasto).
    • O termo V^{2}L^{2} tem dimensão de força quando multiplicado por \rho (pressão dinâmica \rho V^{2} vezes área \sim L^{2}).
Relação de escala para força:
\dfrac{F_{\text{protótipo}}}{F_{\text{modelo}}} =\dfrac{\rho_{\text{p}}}{\rho_{\text{m}}}\cdot\left(\dfrac{V_{\text{p}}}{V_{\text{m}}}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{L_{\text{p}}}{L_{\text{m}}}\right)^{2}.ó
Com \rho_{\text{p}}/\rho_{\text{m}}=1, V_r=\sqrt{L_r} e L_r conhecido, temos
F_r=\dfrac{F_{\text{protótipo}}}{F_{\text{modelo}}} =V_r^{2}\cdot L_r^{2}=(\sqrt{L_r})^{2}\cdot L_r^{2}=L_r\cdot L_r^{2}=L_r^{3}.ó
Ou seja, a força escala com o cubo da razão linear sob semelhança de Froude.

Passo 5

Cálculo numérico da força do protótipo:
  • Com \,L_r=10, a razão de forças é \,F_r=10^{3}=1000.
  • Então
F_{\text{protótipo}}=F_{\text{modelo}}\cdot F_r =20\\ \mathrm{N}\cdot 1000 = 20000\\ \mathrm{N}.ó
  • Convertendo para quilonewtons: \,20000\\ \mathrm{N}=20\\ \mathrm{kN}.
Observação motivadora: fica muito elegante — medir apenas 20 N no modelo já garante um valor grande e prático no protótipo porque a escala eleva a força por três ordens de magnitude. Dá pra ver por que modelos em túnel hidráulico são tão úteis!

Resposta

Q_{\text{protótipo}}\approx 569{,}2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}ó
F_{\text{protótipo}}=20\\ \mathrm{kN}ó

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