Considere um sistema cilíndrico composto por três regiões concêntricas em regime permanente de condução unidimensional. As condutividades térmicas dos materiais são tais que k_{A}, k_{B}=2 k_{A} \mathrm{e} k_{C}=k_{A}.
Há geração volumétrica uniforme de calor, \dot{q}, apenas na região correspondente ao material B. Nas interfaces localizadas em r=r_{A} \mathrm{e} r=r_{B}, existem resistências térmicas de contato. O sistema está inserido em um ambiente evacuado, de modo que a única forma de dissipação térmica na superfície externa r=r_{C} ocorre por radiação.
Com base nessas condições:
(a) formule as equações diferenciais adequadas de condução de calor para cada uma das três regiões;
(b) obtenha uma expressão para a temperatura na superfície externa T\left(r_{C}\right), em função das grandezas fornecidas, incluindo a temperatura do meio ao redor T_{v i z} e a emissividade da superfície;
(c) represente qualitativamente o perfil de temperatura T(r) em função de r, para 0 \leq r \leq r_{C}, considerando o caso em que r_{A}=r_{B}-r_{A}=r_{C}-r_{B};
(d) esboce o comportamento do fluxo de calor radial q^{\prime \prime} em função de r no mesmo intervalo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Peguei os nomes das regiões e os rótulos dos raios da imagem fornecida.)
  • O sistema tem três regiões concêntricas (cilíndricas) chamadas A (núcleo, 0 ≤ r ≤ r_A), B (anel médio, r_A ≤ r ≤ r_B) e C (casca externa, r_B ≤ r ≤ r_C). Os raios das interfaces aparecem na imagem como r_A,\;r_B,\;r_C.
  • Condutividades térmicas fornecidas:
    • k_B = 2 k_A,
    • k_C = k_A.
      (Estas relações foram informadas no enunciado.)
  • Geração volumétrica uniforme de calor \dot{q} ocorre apenas na região B; nas regiões A e C não há geração.
  • Nas interfaces r=r_A e r=r_B existem resistências térmicas de contato. Vou chamá‑las de R_{AB} (entre A e B) e R_{BC} (entre B e C). Estas resistências são especificadas por unidade de área (unidade típica \mathrm{m^2K/W}).
  • O ambiente externo está evacuado; a única perda externa é por radiação na superfície externa r=r_C. A emissividade da superfície é \varepsilon e a temperatura do meio externo é T_{viz}. Vou usar \sigma para a constante de Stefan–Boltzmann.
  • O enunciado pede:
    (a) formular as equações diferenciais de condução para cada região (regime permanente, unidimensional radial);
    (b) obter expressão para T(r_C) em função das grandezas fornecidas, incluindo T_{viz} e a emissividade \varepsilon;
    (c) representar qualitativamente o perfil T(r) para 0\le r\le r_C no caso especial r_A=r_B-r_A=r_C-r_B (três camadas de mesma espessura);
    (d) esboçar qualitativamente o comportamento do fluxo térmico radial q''(r) (fluxo por unidade de área, função de r) no mesmo intervalo.

Passo 2

Equação diferencial básica (derivação e forma usada).
  • Para condução radial estacionária, unidimensional, com condutividade k constante localmente e geração volumétrica \dot{q}, a conservação de energia numa casca cilíndrica dá a equação (forma reduzida):
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{\dot{q}}{k}=0.
Explicação passo a passo:
  • A expressão \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r\,dT/dr\big) aparece porque a divergência do fluxo radial em coordenadas cilíndricas gera o fator 1/r.
  • \dot{q} é a geração volumétrica (unidade \mathrm{W/m^3}). Dividimos por k para escrever em termos de T.
  • Se não houver geração em uma região, basta pôr \dot{q}=0 nessa região.
Agora escrevo a equação para cada região e as soluções gerais (assumindo k constante dentro de cada região).
  • Região A (0 ≤ r ≤ r_A), sem geração ( \dot{q}_A=0), condutividade k_A:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT_A}{dr}\right)=0.
Solução geral:
T_A(r)=C_{1A}\ln r + C_{2A}.
Comentário: pela regularidade no eixo (r\to0) o termo \ln r deve ser inexistente (fuga ao infinito), logo C_{1A}=0. Assim
T_A(r)=C_{2A}=\text{constante}.
  • Região B (r_A ≤ r ≤ r_B), com geração uniforme \dot{q}, condutividade k_B:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT_B}{dr}\right)+\frac{\dot{q}}{k_B}=0.
Integrando duas vezes (mostrando os passos):
  1. Multiplica por r: \frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT_B}{dr}\right)=-\frac{\dot{q}}{k_B}r.
  2. Integrando: r\frac{dT_B}{dr}=-\frac{\dot{q}}{2k_B}r^2 + C_{1B}.
  3. Dividindo por r e integrando: \dfrac{dT_B}{dr}=-\dfrac{\dot{q}}{2k_B}r + \dfrac{C_{1B}}{r}.
  4. Integrando novamente:
T_B(r)=-\frac{\dot{q}}{4k_B}r^2 + C_{1B}\ln r + C_{2B}.
Observação: os coeficientes C_{1B},C_{2B} serão fixados pelas condições de contorno e de interface.
  • Região C (r_B ≤ r ≤ r_C), sem geração ( \dot{q}_C=0), condutividade k_C:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT_C}{dr}\right)=0, \qquad T_C(r)=C_{1C}\ln r + C_{2C}.

Passo 3

Condições de contorno e relações úteis (fluxos e saltos de temperatura nas interfaces).
  1. Regularidade no centro:
\lim_{r\to0}T_A(r)\\ \text{finito} \Rightarrow C_{1A}=0.
  1. Conservação de energia (fluxo por unidade de comprimento axial). É útil trabalhar com o fluxo por unidade axial q'(r) (unidade W/m), e com o fluxo por unidade de área radial q_r(r) (unidade W/m^2). Para simetria cilíndrica:
q'(r)=2\pi r\, q_r(r)= -2\pi r\, k(r)\frac{dT}{dr}.
  • Gerado dentro da camada B, o calor gerado por unidade de comprimento entre r_A e uma posição r\in[r_A,r_B] é
Q'(r)=2\pi\int_{r_A}^{r}\dot{q}\, r'\, dr'=\pi\dot{q}\,(r^2-r_A^2).
Portanto o fluxo radial que atravessa a superfície cilíndrica de raio r (no sentido para fora) é
q'(r)=\pi\dot{q}\,(r^2-r_A^2),\qquad r_A\le r\le r_B.
Isto implica o fluxo por unidade de área (fluxo radial) na região B:
q_r(r)=\frac{q'(r)}{2\pi r}=\frac{\dot{q}\,(r^2-r_A^2)}{2r},\qquad r_A\le r\le r_B.
Observações importantes:
  • Em r=r_A temos q'(r_A)=0 e q_r(r_A)=0. Ou seja, o fluxo radial através da interface interior é nulo (não há geração para r<r_A).
  • Em r=r_B o fluxo total gerado por unidade de comprimento é
Q'_{tot}=q'(r_B)=\pi\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2).
E o fluxo por unidade de área na interface r_B é
q_r(r_B)=\frac{Q'_{tot}}{2\pi r_B}=\frac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2r_B}.
  1. Condições de continuidade de fluxo (sem geração singular na interface): o fluxo radial deve ser contínuo através das interfaces (o valor de -k\,dT/dr do lado interno deve igualar o do lado externo). Assim
-k_A\left.\frac{dT_A}{dr}\right|_{r_A^-} = -k_B\left.\frac{dT_B}{dr}\right|_{r_A^+},
-k_B\left.\frac{dT_B}{dr}\right|_{r_B^-} = -k_C\left.\frac{dT_C}{dr}\right|_{r_B^+}.
Mas, como vimos, \left.dT_A/dr\right|_{r_A^-}=0 porque não há fluxo atravessando r_A (geração só começa em r\ge r_A); então o lado B satisfará \left.dT_B/dr\right|_{r_A^+}=0. Isto fixa C_{1B} (veja abaixo).
  1. Saltos de temperatura nas interfaces devido à resistência de contato. Se a resistência de contato por unidade de área entre duas superfícies é R_c, a queda de temperatura entre os lados interno e externo da interface é \Delta T = q_r \, R_c. Adotando a convenção (lado interno menos lado externo):
T_A(r_A)-T_B(r_A)= q_r(r_A)\,R_{AB},
T_B(r_B)-T_C(r_B)= q_r(r_B)\,R_{BC}.
Observação: q_r(r_A)=0 → o salto em r_A é nulo independentemente de R_{AB}. Logo T_A(r_A)=T_B(r_A).
  1. Condição no contorno externo por radiação (superfície r=r_C):
  • O calor que sai por radiação por unidade de área é
q_{rad}=\varepsilon\sigma\big(T(r_C)^4 - T_{viz}^4\big).
  • Pelo balanço de energia, esse calor radiado por unidade de área deve ser igual ao fluxo radial por unidade de área no exterior:
-k_C\left.\frac{dT_C}{dr}\right|_{r_C} \;=\; \varepsilon\sigma\big(T(r_C)^4 - T_{viz}^4\big).

Passo 4

Determinação de T(r_C) (parte b) — raciocínio físico e cálculo direto.
  • Em regime permanente, toda a potência volumétrica gerada na região B deve ser dissipada na superfície externa r_C por radiação (não há armazenamento e não há outras vias de perda). Assim, potência gerada por unidade de comprimento axial:
Q'_{tot}=\pi\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2).
  • Potência radiada por unidade de comprimento axial na superfície externa (circunferência de raio r_C) é:
Q'_{rad}= \big[2\pi r_C\big]\cdot \varepsilon\sigma\big(T(r_C)^4-T_{viz}^4\big).
  • Igualando geração e radiação:
\pi\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)=2\pi r_C\,\varepsilon\sigma\big(T(r_C)^4-T_{viz}^4\big).
Simplificando e isolando T(r_C):
T(r_C)^4 = T_{viz}^4 + \frac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2 r_C\,\varepsilon\sigma}.
Portanto
\boxed{\,T(r_C)=\left[\,T_{viz}^4 + \dfrac{\dot{q}\,\big(r_B^2-r_A^2\big)}{2 r_C\,\varepsilon\sigma}\right]^{1/4}\,.}
Comentário didático e importante: essa expressão depende apenas da geração total em B, do raio externo r_C, da emissividade \varepsilon e de T_{viz} — e NÃO depende das condutividades internas nem da resistência de contato em r_A. Motivo: para manter o balanço de energia global, a superfície externa ajusta sua temperatura de maneira que a radiação em média saia igual à energia gerada internamente; os detalhes da resistência interna influenciam a distribuição de temperatura interna, mas não a energia total que deve ser radiada.

Passo 5

Expressões auxiliares completas (perfil analítico em cada região, necessárias para interpretar (c) e (d)).
Usando as condições vistas no Passo 3, podemos escrever as soluções com constantes explicitadas em termos de parâmetros conhecidos e de T(r_C). Não faço o cálculo de todas as constantes numéricas (porque T(r_C) foi obtido implicitamente pela equação de radiação não linear), mas demonstro como obter as constantes e escrevo as fórmulas finais úteis.
  1. Região C: T_C(r)=C_{1C}\ln r + C_{2C}.
  • No contorno externo:
\left.\frac{dT_C}{dr}\right|_{r_C}=\frac{C_{1C}}{r_C} = -\frac{q_r(r_C)}{k_C} = -\frac{Q'_{tot}}{2\pi r_C k_C} = -\frac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2k_C r_C}.
Logo
C_{1C}=-\frac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2k_C}.
E
C_{2C}=T(r_C)-C_{1C}\ln r_C.
Portanto
\boxed{\,T_C(r)=T(r_C) -\frac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2k_C}\,\ln\!\Big(\frac{r}{r_C}\Big)\,.}
(Aqui usei k_C=k_A se quiser substituir.)
  1. Região B: já vimos que a condição de regularidade e continuidade de fluxo em r_A \left.dT_B/dr\right|_{r_A}=0. Da expressão da derivada em B,
\frac{dT_B}{dr}=-\frac{\dot{q}}{2k_B}r + \frac{C_{1B}}{r},
impondo \left.dT_B/dr\right|_{r_A}=0 temos
C_{1B}=\frac{\dot{q}}{2k_B}r_A^2.
Logo
T_B(r)=-\frac{\dot{q}}{4k_B}r^2 + \frac{\dot{q}\,r_A^2}{2k_B}\ln r + C_{2B}.
O coeficiente C_{2B} é obtido impondo a condição de salto na interface r_B:
T_B(r_B)-T_C(r_B)= q_r(r_B)\,R_{BC},
onde q_r(r_B)=\dfrac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2r_B}. Assim C_{2B} pode ser escrito em termos de T(r_C), \dot{q}, raios, k_C, k_B e R_{BC} substituindo a expressão de T_C(r_B) proveniente da fórmula acima para T_C(r).
  1. Região A: como vimos, T_A(r)= constante e pela continuidade (salto nulo porque q_r(r_A)=0):
T_A(r)=T_B(r_A).
Essas fórmulas permitem avaliar numericamente o perfil T(r) em qualquer ponto uma vez que \dot{q}, r_A,r_B,r_C, k_i, R_{BC}, \varepsilon, T_{viz} sejam conhecidos — lembre que T(r_C) é dado explicitamente no Passo 4.

Passo 6

Perfil qualitativo da temperatura T(r) e do fluxo q''(r) (partes c e d), explicando a forma física (caso especial: espessuras iguais r_A = r_B-r_A = r_C-r_B).
  • Forma física do perfil T(r):
    • Em 0\le r\le r_A (região A): não há geração e o fluxo radial através de r_A é zero, logo T_A(r) é constante (plano horizontal no gráfico). Esse valor é igual a T_B(r_A) pois q_r(r_A)=0\Rightarrow sem salto mesmo com R_{AB}.
    • Em r_A< r < r_B (região B): devido à geração volumétrica, a solução tem termo quadrático -(\dot{q}/4k_B)r^2 mais um termo logarítmico; com a condição \left.dT_B/dr\right|_{r_A}=0 obtém‑se que T(r) tem um máximo em r=r_A (derivada nula, segunda derivada negativa). Portanto o perfil em B decresce monotonamente a partir de r_A até r_B. Intuitivamente, o ponto mais quente é a superfície interior do anel gerador (e o núcleo A tem a mesma temperatura máxima).
    • Em r=r_B há um salto de temperatura igual a q_r(r_B)\,R_{BC} (salto finito para baixo se R_{BC}>0), porque o fluxo em r_B é não nulo. Após o salto, na região C a temperatura continua decrescendo até a superfície r_C.
    • Na superfície externa r_C a temperatura é T(r_C) dada pela expressão encontrada no Passo 4.
  • Esboço qualitativo de T(r) (descrição para desenhar):
    1. Traço horizontal (constante) de r=0 até r=r_A (valor máximo).
    2. A partir de r_A descer suavemente (curva côncava para baixo) até r_B^-.
    3. No ponto r_B aplicar um salto para baixo (se R_{BC}>0); o tamanho do salto é q_r(r_B)\,R_{BC}.
    4. A partir de r_B^+ continuar decaindo logaritmicamente na região C até chegar em r_C ao valor T(r_C).
  • Com as espessuras iguais (caso pedido), o desenho qualitativo permanece o mesmo; apenas as distâncias relativas no eixo r são uniformes (três zonas de mesma largura), e o máximo local está no final da primeira zona (em r_A) com queda contínua na segunda e salto na terceira antes da queda final.
  • Comportamento do fluxo radial por unidade de área q_r(r)=q''(r) (parte d):
    • Para 0\le r < r_A: q_r(r)=0 (nenhum calor atravessa superfícies interiores porque não há geração interna).
    • Para r_A< r < r_B: q_r(r)=\dfrac{\dot{q}\,(r^2-r_A^2)}{2r}. Essa função surge da integração da geração; ela começa em zero em r=r_A, aumenta com r (comportamento aproximadamente proporcional a r para r pouco maiores que r_A), e atinge seu valor máximo na interface r_B.
    • Para r\ge r_B (região C): o fluxo total por unidade de comprimento é constante Q'_{tot}, então o fluxo por unidade de área decai como q_r(r)=\dfrac{Q'_{tot}}{2\pi r}=\dfrac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2r}, que é inversamente proporcional a r.
    • No gráfico qualitativo do fluxo q''(r): começa em zero até r_A, sobe no intervalo r_A<r<r_B (curva), alcança seu valor máximo em r_B, e a partir de r_B decai como 1/r.

Resposta

(a) Região A: \displaystyle \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT_A}{dr}\right)=0,\qquad T_A(r)=C_{2A}=\text{const}.
Região B: \displaystyle \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT_B}{dr}\right)+\frac{\dot{q}}{k_B}=0,\qquad T_B(r)=-\frac{\dot{q}}{4k_B}r^2 + C_{1B}\ln r + C_{2B}.
Região C: \displaystyle \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT_C}{dr}\right)=0,\qquad T_C(r)=C_{1C}\ln r + C_{2C}.
(b) \displaystyle T(r_C)=\left[\,T_{viz}^4 + \dfrac{\dot{q}\,\big(r_B^2-r_A^2\big)}{2 r_C\,\varepsilon\sigma}\right]^{1/4}.
(c) Perfil qualitativo T(r) para 0\le r\le r_C (com r_A=r_B-r_A=r_C-r_B): temperatura constante no núcleo 0\le r\le r_A (valor máximo), depois decaimento suave (curva côncava) em r_A<r<r_B, salto para baixo em r=r_B de magnitude q_r(r_B)R_{BC} (se R_{BC}>0), e decaimento logarítmico em r_B<r<r_C até T(r_C).
(d) Fluxo radial por unidade de área q''(r)=q_r(r):
  • 0\le r<r_A:\; q''(r)=0.
  • r_A\le r\le r_B:\; q''(r)=\dfrac{\dot{q}\,(r^2-r_A^2)}{2r} (cresce desde zero até r_B).
  • r_B\le r\le r_C:\; q''(r)=\dfrac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2r} (decai como 1/r).

Exercícios relacionados