Considere um sistema cilíndrico composto por três regiões concêntricas em regime permanente de condução unidimensional. As condutividades térmicas dos materiais são tais que k_{A}, k_{B}=2 k_{A} \mathrm{e} k_{C}=k_{A}.
Há geração volumétrica uniforme de calor, \dot{q}, apenas na região correspondente ao material B. Nas interfaces localizadas em r=r_{A} \mathrm{e} r=r_{B}, existem resistências térmicas de contato. O sistema está inserido em um ambiente evacuado, de modo que a única forma de dissipação térmica na superfície externa r=r_{C} ocorre por radiação.
Com base nessas condições:
(a) formule as equações diferenciais adequadas de condução de calor para cada uma das três regiões;
(b) obtenha uma expressão para a temperatura na superfície externa T\left(r_{C}\right), em função das grandezas fornecidas, incluindo a temperatura do meio ao redor T_{v i z} e a emissividade da superfície;
(c) represente qualitativamente o perfil de temperatura T(r) em função de r, para 0 \leq r \leq r_{C}, considerando o caso em que r_{A}=r_{B}-r_{A}=r_{C}-r_{B};
(d) esboce o comportamento do fluxo de calor radial q^{\prime \prime} em função de r no mesmo intervalo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Peguei os nomes das regiões e os rótulos dos raios da imagem fornecida.)
O sistema tem três regiões concêntricas (cilíndricas) chamadas A (núcleo, 0 ≤ r ≤ r_A), B (anel médio, r_A ≤ r ≤ r_B) e C (casca externa, r_B ≤ r ≤ r_C). Os raios das interfaces aparecem na imagem como r_A,\;r_B,\;r_C.
Condutividades térmicas fornecidas:
k_B = 2 k_A,
k_C = k_A.
(Estas relações foram informadas no enunciado.)
Geração volumétrica uniforme de calor \dot{q} ocorre apenas na região B; nas regiões A e C não há geração.
Nas interfaces r=r_A e r=r_B existem resistências térmicas de contato. Vou chamá‑las de R_{AB} (entre A e B) e R_{BC} (entre B e C). Estas resistências são especificadas por unidade de área (unidade típica \mathrm{m^2K/W}).
O ambiente externo está evacuado; a única perda externa é por radiação na superfície externa r=r_C. A emissividade da superfície é \varepsilon e a temperatura do meio externo é T_{viz}. Vou usar \sigma para a constante de Stefan–Boltzmann.
O enunciado pede:
(a) formular as equações diferenciais de condução para cada região (regime permanente, unidimensional radial);
(b) obter expressão para T(r_C) em função das grandezas fornecidas, incluindo T_{viz} e a emissividade \varepsilon;
(c) representar qualitativamente o perfil T(r) para 0\le r\le r_C no caso especial r_A=r_B-r_A=r_C-r_B (três camadas de mesma espessura);
(d) esboçar qualitativamente o comportamento do fluxo térmico radial q''(r) (fluxo por unidade de área, função de r) no mesmo intervalo.
Passo 2
Equação diferencial básica (derivação e forma usada).
Para condução radial estacionária, unidimensional, com condutividade k constante localmente e geração volumétrica \dot{q}, a conservação de energia numa casca cilíndrica dá a equação (forma reduzida):
Conservação de energia (fluxo por unidade de comprimento axial). É útil trabalhar com o fluxo por unidade axial q'(r) (unidade W/m), e com o fluxo por unidade de área radial q_r(r) (unidade W/m^2). Para simetria cilíndrica:
Condições de continuidade de fluxo (sem geração singular na interface): o fluxo radial deve ser contínuo através das interfaces (o valor de -k\,dT/dr do lado interno deve igualar o do lado externo). Assim
Mas, como vimos, \left.dT_A/dr\right|_{r_A^-}=0 porque não há fluxo atravessando r_A (geração só começa em r\ge r_A); então o lado B satisfará \left.dT_B/dr\right|_{r_A^+}=0. Isto fixa C_{1B} (veja abaixo).
Saltos de temperatura nas interfaces devido à resistência de contato. Se a resistência de contato por unidade de área entre duas superfícies é R_c, a queda de temperatura entre os lados interno e externo da interface é \Delta T = q_r \, R_c. Adotando a convenção (lado interno menos lado externo):
T_A(r_A)-T_B(r_A)= q_r(r_A)\,R_{AB},
T_B(r_B)-T_C(r_B)= q_r(r_B)\,R_{BC}.
Observação: q_r(r_A)=0 → o salto em r_A é nulo independentemente de R_{AB}. Logo T_A(r_A)=T_B(r_A).
Condição no contorno externo por radiação (superfície r=r_C):
O calor que sai por radiação por unidade de área é
Determinação de T(r_C) (parte b) — raciocínio físico e cálculo direto.
Em regime permanente, toda a potência volumétrica gerada na região B deve ser dissipada na superfície externa r_C por radiação (não há armazenamento e não há outras vias de perda). Assim, potência gerada por unidade de comprimento axial:
Q'_{tot}=\pi\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2).
Potência radiada por unidade de comprimento axial na superfície externa (circunferência de raio r_C) é:
Comentário didático e importante: essa expressão depende apenas da geração total em B, do raio externo r_C, da emissividade \varepsilon e de T_{viz} — e NÃO depende das condutividades internas nem da resistência de contato em r_A. Motivo: para manter o balanço de energia global, a superfície externa ajusta sua temperatura de maneira que a radiação em média saia igual à energia gerada internamente; os detalhes da resistência interna influenciam a distribuição de temperatura interna, mas não a energia total que deve ser radiada.
Passo 5
Expressões auxiliares completas (perfil analítico em cada região, necessárias para interpretar (c) e (d)).
Usando as condições vistas no Passo 3, podemos escrever as soluções com constantes explicitadas em termos de parâmetros conhecidos e de T(r_C). Não faço o cálculo de todas as constantes numéricas (porque T(r_C) foi obtido implicitamente pela equação de radiação não linear), mas demonstro como obter as constantes e escrevo as fórmulas finais úteis.
T_B(r)=-\frac{\dot{q}}{4k_B}r^2 + \frac{\dot{q}\,r_A^2}{2k_B}\ln r + C_{2B}.
O coeficiente C_{2B} é obtido impondo a condição de salto na interface r_B:
T_B(r_B)-T_C(r_B)= q_r(r_B)\,R_{BC},
onde q_r(r_B)=\dfrac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2r_B}. Assim C_{2B} pode ser escrito em termos de T(r_C), \dot{q}, raios, k_C, k_B e R_{BC} substituindo a expressão de T_C(r_B) proveniente da fórmula acima para T_C(r).
Região A: como vimos, T_A(r)= constante e pela continuidade (salto nulo porque q_r(r_A)=0):
T_A(r)=T_B(r_A).
Essas fórmulas permitem avaliar numericamente o perfil T(r) em qualquer ponto uma vez que \dot{q}, r_A,r_B,r_C, k_i, R_{BC}, \varepsilon, T_{viz} sejam conhecidos — lembre que T(r_C) é dado explicitamente no Passo 4.
Passo 6
Perfil qualitativo da temperatura T(r) e do fluxo q''(r) (partes c e d), explicando a forma física (caso especial: espessuras iguais r_A = r_B-r_A = r_C-r_B).
Forma física do perfil T(r):
Em 0\le r\le r_A (região A): não há geração e o fluxo radial através de r_A é zero, logo T_A(r) é constante (plano horizontal no gráfico). Esse valor é igual a T_B(r_A) pois q_r(r_A)=0\Rightarrow sem salto mesmo com R_{AB}.
Em r_A< r < r_B (região B): devido à geração volumétrica, a solução tem termo quadrático -(\dot{q}/4k_B)r^2 mais um termo logarítmico; com a condição \left.dT_B/dr\right|_{r_A}=0 obtém‑se que T(r) tem um máximo em r=r_A (derivada nula, segunda derivada negativa). Portanto o perfil em B decresce monotonamente a partir de r_A até r_B. Intuitivamente, o ponto mais quente é a superfície interior do anel gerador (e o núcleo A tem a mesma temperatura máxima).
Em r=r_B há um salto de temperatura igual a q_r(r_B)\,R_{BC} (salto finito para baixo se R_{BC}>0), porque o fluxo em r_B é não nulo. Após o salto, na região C a temperatura continua decrescendo até a superfície r_C.
Na superfície externa r_C a temperatura é T(r_C) dada pela expressão encontrada no Passo 4.
Esboço qualitativo de T(r) (descrição para desenhar):
Traço horizontal (constante) de r=0 até r=r_A (valor máximo).
A partir de r_A descer suavemente (curva côncava para baixo) até r_B^-.
No ponto r_B aplicar um salto para baixo (se R_{BC}>0); o tamanho do salto é q_r(r_B)\,R_{BC}.
A partir de r_B^+ continuar decaindo logaritmicamente na região C até chegar em r_C ao valor T(r_C).
Com as espessuras iguais (caso pedido), o desenho qualitativo permanece o mesmo; apenas as distâncias relativas no eixo r são uniformes (três zonas de mesma largura), e o máximo local está no final da primeira zona (em r_A) com queda contínua na segunda e salto na terceira antes da queda final.
Comportamento do fluxo radial por unidade de área q_r(r)=q''(r) (parte d):
Para 0\le r < r_A: q_r(r)=0 (nenhum calor atravessa superfícies interiores porque não há geração interna).
Para r_A< r < r_B: q_r(r)=\dfrac{\dot{q}\,(r^2-r_A^2)}{2r}. Essa função surge da integração da geração; ela começa em zero em r=r_A, aumenta com r (comportamento aproximadamente proporcional a r para r pouco maiores que r_A), e atinge seu valor máximo na interface r_B.
Para r\ge r_B (região C): o fluxo total por unidade de comprimento é constante Q'_{tot}, então o fluxo por unidade de área decai como q_r(r)=\dfrac{Q'_{tot}}{2\pi r}=\dfrac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2r}, que é inversamente proporcional a r.
No gráfico qualitativo do fluxo q''(r): começa em zero até r_A, sobe no intervalo r_A<r<r_B (curva), alcança seu valor máximo em r_B, e a partir de r_B decai como 1/r.
Resposta
(a) Região A: \displaystyle \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT_A}{dr}\right)=0,\qquad T_A(r)=C_{2A}=\text{const}.
Região B: \displaystyle \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT_B}{dr}\right)+\frac{\dot{q}}{k_B}=0,\qquad T_B(r)=-\frac{\dot{q}}{4k_B}r^2 + C_{1B}\ln r + C_{2B}.
Região C: \displaystyle \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT_C}{dr}\right)=0,\qquad T_C(r)=C_{1C}\ln r + C_{2C}.
(c) Perfil qualitativo T(r) para 0\le r\le r_C (com r_A=r_B-r_A=r_C-r_B): temperatura constante no núcleo 0\le r\le r_A (valor máximo), depois decaimento suave (curva côncava) em r_A<r<r_B, salto para baixo em r=r_B de magnitude q_r(r_B)R_{BC} (se R_{BC}>0), e decaimento logarítmico em r_B<r<r_C até T(r_C).
(d) Fluxo radial por unidade de área q''(r)=q_r(r):
0\le r<r_A:\; q''(r)=0.
r_A\le r\le r_B:\; q''(r)=\dfrac{\dot{q}\,(r^2-r_A^2)}{2r} (cresce desde zero até r_B).
r_B\le r\le r_C:\; q''(r)=\dfrac{\dot{q}\,(r_B^2-r_A^2)}{2r} (decai como 1/r).