Bombardeio com próton. Um próton com massa igual a 1,67 times 10^5 ^27 kg é impulsionado com uma velocidade inicial de 3,0 times 10^5 m / s diretamente contra um núcleo de urânio situado a uma distância de 5,0 m. O próton é repelido pelo núcleo de urânio com uma força de módulo F=alpha / x^2, onde x é a distância entre as duas partículas e alpha=2,12 times 10^26 N m^2. Suponha que o núcleo de urânio permaneça em repouso.
(a) Qual é a velocidade do próton quando ele está a uma distância de 8,0.10^-10 m do núcleo de urânio?
(b) À medida que o próton se aproxima do núcleo de urânio, a força de repulsão faz sua velocidade diminuir até ficar momentaneamente em repouso, depois passando a se afastar do núcleo de urânio. Qual é a distância mínima entre o próton e o núcleo de urânio?
(c) Qual é a velocidade do próton quando ele está novamente a uma distância de 5,0 m do núcleo de urânio?

Passo 1

O enunciado descreve um próton de massa m=1,67times10^-27:kg lançado com velocidade inicial v0=3,0times10^5:m/s contra um núcleo de urânio fixo. A força de repulsão depende da distância x como
F(x)=alphax^2, alpha=2,12times10^26:Ncdot m^2
Como a força é central e conservativa, podemos usar a conservação da energia mecânica, onde a energia potencial associada a essa força é
U(x)=alphax(tomando Uto0 em xtoinfty)

Passo 2

Pela conservação da energia mecânica:
12,m,v^2+U(x) =12,m,v0^2+U(xi),
onde xi=5,0: m é a distância inicial. Isolando v:
12,m,v^2 =12,m,v0^2+alphaxi-alphax,
v(x) =raiz,v0^2+2alphaml(1xi-1xr),,

Passo 3

(a) Para x=8,0times10^-10: m, calculamos
v^2 = (3,0times10^5)^2 +2,(2,12times10^26)1,67times10^-27 l(15,0-18,0times10^-10r)
Numericamente:
v^2approx9,0times10^10 -3,17times10^10 =5,83times10^10,
vapprox2,41times10^5:m/s

Passo 4

(b) A menor distância b ocorre quando v=0. Da energia total E=tfrac12mv0^2+alpha/xi temos
0+alphab =E =12,m,v0^2+alphaxi,
b=alphatfrac12,m,v0^2+alpha/xi approx2,12times10^267,52times10^-17 approx2,82times10^-10: m

Passo 5

(c) Ao afastar-se e chegar novamente a x=5,0:m, a energia potencial volta a U(xi)=alpha/xi. Logo
12,m,vrm final^2 =E-alphaxi =12,m,v0^2,
vrm final=v0=3,0times10^5:m/s

Resposta

(a) 2,41times10^5:m/s
(b) 2,82times10^-10: m
(c) 3,0times10^5:m/s

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