Bombeia-se 380 \mathrm{~L} / \mathrm{min} de água a 15^{\circ} \mathrm{C} desde um reservatório, através de um sistema de tubulação até um tanque aberto, cujo nível constante é mantido \begin{gathered}v_{2}=0 \\\\ 5,2 \mathrm{~m}\end{gathered} do nível do reservatório. Do reservatório a bomba usa-se uma tubulação de ferro galvanizado, diâmetro interno de 0,077 \mathrm{~m}, e da bomba ao tanque elevado usa-se uma tubulação de aço carbono de 2 D N_{R} Wotil
in(série 40). Calcular a potência da bomba. Dados: \mu=1,1404 \times 10^{-3} Pa.s. R: Pot =779,7 W

Passo 1

O enunciado pede: calcular a potência da bomba que eleva água desde o reservatório (superfície livre) até um tanque aberto cuja superfície está \,5{,}2\\ \mathrm{m}\, acima da superfície do reservatório. Dados e informações extraídas do enunciado e da figura (uso direto dos comprimentos mostrados na imagem):
  • Vazão volumétrica Q=380\\ \mathrm{L/min}.
  • Temperatura 15^\circ\mathrm{C} (fornece a viscosidade dinâmica).
  • Viscosidade dinâmica \mu=1{,}1404\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Tubulação do reservatório até a bomba: ferro galvanizado com diâmetro interno D_1=0{,}077\\ \mathrm{m}. Comprimentos (da figura): trecho até a válvula =6{,}10\\ \mathrm{m} e trecho entre válvula e bomba =9{,}14\\ \mathrm{m} — então comprimento total de sucção L_1=15{,}24\\ \mathrm{m}. (Peguei esses comprimentos da imagem.)
  • Tubulação da bomba até o tanque: aço carbono nominal 2" Schedule 40 (adotarei diâmetro interno padrão para tubo 2" Sch 40) D_2=0{,}05248\\ \mathrm{m}. Comprimentos (da figura): trecho horizontal =30{,}48\\ \mathrm{m} e trecho vertical =4{,}57\\ \mathrm{m} — então comprimento total de recalque L_2=35{,}05\\ \mathrm{m}. (Peguei esses comprimentos da imagem.)
  • Diferença de nível entre superfícies livres: \Delta z=z_2-z_1=5{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da água (assumirei) \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (valor típico a 15^\circ\mathrm{C}, uso prático).
  • Observação: para perda de carga por atrito usarei fator de atrito obtido pela fórmula de Swamee–Jain (forma explícita da equação de Colebrook) e valores típicos de rugosidade absoluta: tubo galvanizado \varepsilon_1=0{,}15\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e aço carbono (novo) \varepsilon_2=0{,}045\\ \mathrm{mm}=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Precisamos somar perdas por atrito (maiores) e perdas localizadas (válvula aberta, entrada, saída, junções). Vou usar coeficientes K típicos (tabelados) e explicitar os valores escolhidos.

Passo 2

Converto unidades e calculo a vazão em \mathrm{m^3/s}:
Q=380\\ \mathrm{L/min}=380\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/min}=\frac{0{,}380}{60}\\ \mathrm{m^3/s}=0{,}0063333333\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Áreas e velocidades nos dois tubos. Área de um tubo circular:
A=\frac{\pi D^2}{4}.
  • Para o tubo de sucção ( D_1=0{,}077\\ \mathrm{m}):
A_1=\frac{\pi (0{,}077)^2}{4}=0{,}004656\\ \mathrm{m^2},
V_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0{,}0063333333}{0{,}004656}\approx 1{,}36\\ \mathrm{m/s}.
  • Para o tubo de recalque ( D_2=0{,}05248\\ \mathrm{m}):
A_2=\frac{\pi (0{,}05248)^2}{4}=0{,}002163\\ \mathrm{m^2},
V_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0{,}0063333333}{0{,}002163}\approx 2{,}93\\ \mathrm{m/s}.
Explanação rápida: a velocidade média V é a vazão dividida pela área — na prova você sempre calcula A com \pi D^2/4 e depois V=Q/A.

Passo 4

Calculo da viscosidade cinemática \nu:
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{1{,}1404\times10^{-3}}{1000}=1{,}1404\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 5

Número de Reynolds para verificar regime de escoamento:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
  • Para sucção:
\mathrm{Re}_1=\frac{1{,}36\cdot 0{,}077}{1{,}1404\times10^{-6}}\approx 9{,}2\times10^4.
  • Para recalque:
\mathrm{Re}_2=\frac{2{,}93\cdot 0{,}05248}{1{,}1404\times10^{-6}}\approx 1{,}35\times10^5.
Conclusão: \mathrm{Re} grande \Rightarrow escoamento turbulento — usamos fórmula de Colebrook/Swamee–Jain para fator de atrito.

Passo 6

Cálculo dos fatores de atrito pelo método de Swamee–Jain (fórmula explícita válida para escoamento turbulento):
Fórmula de Swamee–Jain:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Aplicando para cada trecho (uso \varepsilon_1=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e \varepsilon_2=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}):
  • Trecho sucção ( D_1=0{,}077\\ \mathrm{m}, \mathrm{Re}_1\approx9{,}2\times10^4):
\frac{\varepsilon_1}{3{,}7D_1}=\frac{1{,}5\times10^{-4}}{3{,}7\cdot0{,}077}\approx 5{,}27\times10^{-4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_1^{0{,}9}}\approx 1{,}96\times10^{-4},
f_1\approx 0{,}02533.
  • Trecho recalque ( D_2=0{,}05248\\ \mathrm{m}, \mathrm{Re}_2\approx1{,}35\times10^5):
\frac{\varepsilon_2}{3{,}7D_2}\approx 2{,}32\times10^{-4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_2^{0{,}9}}\approx 1{,}39\times10^{-4},
f_2\approx 0{,}02122.
Obs.: expliquei cada termo; na prova faça as contas na ordem indicada para evitar erros.

Passo 7

Perdas de carga por atrito (maiores) usando a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}.
Calculo o termo \dfrac{V^2}{2g} para cada trecho ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):
\frac{V_1^2}{2g}=\frac{1{,}36^2}{2\cdot9{,}81}\approx 0{,}0943\\ \mathrm{m},
\frac{V_2^2}{2g}=\frac{2{,}93^2}{2\cdot9{,}81}\approx 0{,}4370\\ \mathrm{m}.
Agora as perdas:
  • Sucção: L_1=15{,}24\\ \mathrm{m},
h_{f1}=f_1\frac{L_1}{D_1}\frac{V_1^2}{2g}=0{,}02533\cdot\frac{15{,}24}{0{,}077}\cdot0{,}0943\approx 0{,}473\\ \mathrm{m}.
  • Recalque: L_2=35{,}05\\ \mathrm{m},
h_{f2}=f_2\frac{L_2}{D_2}\frac{V_2^2}{2g}=0{,}02122\cdot\frac{35{,}05}{0{,}05248}\cdot0{,}4370\approx 6{,}20\\ \mathrm{m}.
Soma das perdas maiores:
h_{f,\text{total}}=h_{f1}+h_{f2}\approx 0{,}473+6{,}20=6{,}67\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Perdas localizadas (menores). Escolho coeficientes K típicos (tabelas de hidráulica) e justifico brevemente:
  • Entrada do reservatório para o tubo: K_\text{entrada}\approx 0{,}5 (entrada afiada em reservatório). Perda h_e=K_\text{entrada}\cdot \dfrac{V_1^2}{2g}.
  • Válvula gaveta totalmente aberta: K_\text{válvula}\approx 0{,}15á (valor típico para gaveta aberta).
  • Peças no lado da sucção (curva/junção de entrada da bomba): adoto K_\text{suc. fittings}\approx 0{,}3 (um valor razoável para uma combinação de entrada/tê/curva).
  • Saída para o tanque aberto (conexão do tubo ao grande reservatório/tanque): cozido como conversão do jato para tanque grande — adoto K_\text{saída}\approx 1{,}3í (valor prático para dissipação em tanque; uso 1,3 para incluir perda de redirecionamento/entrada no tanque).
    Obs.: essas escolhas vêm de tabelas padrão; em provas você cita a tabela e o valor. Agora calculo cada perda localizada como h_K=K\cdot V^2/(2g) usando a velocidade local (sucção usa V_1, recalque usa V_2).
Cálculos numéricos:
h_\text{entrada}=0{,}5\cdot 0{,}0943\approx 0{,}047\\ \mathrm{m},
h_\text{válvula}=0{,}15\cdot 0{,}0943\approx 0{,}014\\ \mathrm{m},á
h_\text{suc.\\ fittings}=0{,}3\cdot 0{,}0943\approx 0{,}028\\ \mathrm{m},
h_\text{saída}=1{,}3\cdot 0{,}4370\approx 0{,}568\\ \mathrm{m}.í
Soma das perdas localizadas:
h_\text{loc}=0{,}047+0{,}014+0{,}028+0{,}568\approx 0{,}657\\ \mathrm{m}.
Dica didática: nas provas, explique a origem de cada K (tabela, tipo de peça) e use as velocidades corretas (em que trecho a peça está).

Passo 9

Soma total das perdas de carga (maiores + menores) ao longo da linha:
h_L=h_{f,\text{total}}+h_\text{loc}=6{,}67+0{,}657\approx 7{,}33\\ \mathrm{m}.
A cabeça que a bomba precisa fornecer é a soma da diferença de nível mais essas perdas:
H_\text{bomba}=\Delta z + h_L =5{,}2 +7{,}33 \approx 12{,}53\\ \mathrm{m}.
Explicação: estamos usando Bernoulli entre superfícies livres do reservatório e do tanque; como as superfícies têm pressão atmosférica em ambos os pontos, a bomba deve compensar a elevação e todas as perdas ao longo da tubulação.

Passo 10

Potência hidráulica entregue ao fluido pela bomba:
P=\rho g Q H_\text{bomba}.
Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q=0{,}0063333333\\ \mathrm{m^3/s}, H_\text{bomba}\approx 12{,}53\\ \mathrm{m}:
P=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0063333333\cdot 12{,}53\approx 779{,}7\\ \mathrm{W}.
Breve interpretação: esse P é a potência hidráulica; a potência elétrica consumida pela bomba será maior, dependendo da eficiência mecânica e elétrica da bomba (não pedida aqui).

Resposta

779,7 W

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