Vapor saturado circulando contracorrente a uma temperatura de 110^{\circ} \mathrm{C}, condensa-se no espaço anular externo de um trocador de calor duplo-tubo de 5 m de comprimento na mesma temperatura. O alimento líquido está fluindo a uma taxa de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} no tubo interno. O calor específico do alimento é de 3,9 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} .^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura de entrada do alimento é de 40^{\circ} \mathrm{C} e sua saída é de 80^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcule a área de troca térmica considerando um coeficiente global de 2105 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}.
b) Determine o diâmetro externo e interno que o tubo deve apresentar, considerando que deve haver uma espessura de \mathbf{2 ~ m m}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados do problema (extraídos do enunciado):
    • Vazão mássica do alimento: \dot{m}=0,5\\ \mathrm{kg/s}.
    • Calor específico do alimento: c_p=3,9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot^\circ C)}.
    • Temperatura de entrada do alimento: T_{\text{in}}=40^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de saída do alimento: T_{\text{out}}=80^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de saturação do vapor (condensação): T_s=110^\circ\mathrm{C} (constante durante a condensação).
    • Comprimento do tubo: L=5\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente global de transferência de calor: U=2105\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.
    • Espessura do tubo (parede): t=2\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m}.
  • O que é pedido:
    a) Calcular a área de troca térmica A.
    b) Determinar o diâmetro externo D_o e interno D_i do tubo (sabendo a espessura t).
Observação importante (usada mais adiante): o vapor condensa a temperatura constante T_s, então uma das temperaturas quentes é constante — isso afeta o cálculo da diferença de temperatura média logarítmica ( \Delta T_{lm}).

Passo 2

Calcular a taxa de transferência de calor Q requerida pelo alimento (energia recebida pelo alimento). A fórmula de balanço energético para o alimento, assumindo processo sem trabalho nem acumulação, é:
Q=\dot{m}\,c_p\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}}).
Explicando as variáveis:
  • \dot{m} é a vazão mássica em \mathrm{kg/s}.
  • c_p é o calor específico em \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
  • T_{\text{out}} e T_{\text{in}} são as temperaturas de saída e entrada do alimento em ^\circ\mathrm{C}.
Primeiro converto c_p para unidades SI (joule):
c_p = 3,9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot^\circ C)} = 3900\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
Agora calculo Q:
Q = 0,5\cdot 3900 \cdot (80-40)\\ \mathrm{W}.
Faço as contas passo a passo:
80-40=40,
0,5\cdot 3900 = 1950,
Q = 1950\cdot 40 = 78\,000\\ \mathrm{W}.
Portanto, Q=78\,000\\ \mathrm{W} (ou 78\\ \mathrm{kW}).

Passo 3

Determinar a diferença de temperatura média logarítmica ( \Delta T_{lm}) para o trocador em contracorrente quando uma das correntes (o vapor) tem temperatura constante ( T_s). Para contracorrente geral usamos:
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)},
onde \Delta T_1 e \Delta T_2 são as diferenças de temperatura nos dois extremos do trocador. No nosso caso:
  • Como o vapor condensa a T_s=110^\circ\mathrm{C} (constante), as diferenças nas extremidades são:
    • Extremidade 1 (onde o fluido frio sai a T_{\text{out}}=80^\circ\mathrm{C}): \Delta T_1 = T_s - T_{\text{out}} = 110 - 80 = 30^\circ\mathrm{C}.
    • Extremidade 2 (onde o fluido frio entra a T_{\text{in}}=40^\circ\mathrm{C}): \Delta T_2 = T_s - T_{\text{in}} = 110 - 40 = 70^\circ\mathrm{C}.
Substituo na fórmula da \Delta T_{lm}:
\Delta T_{lm} = \frac{70 - 30}{\ln\!\left(\dfrac{70}{30}\right)} = \frac{40}{\ln\!\left(\dfrac{7}{3}\right)}.
Faço a conta do logaritmo natural:
\ln\!\left(\dfrac{7}{3}\right)\approx 0,84729786,
portanto
\Delta T_{lm} \approx \frac{40}{0,84729786}\approx 47,21^\circ\mathrm{C}.
Logo, \Delta T_{lm}\approx 47,21^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Usar a equação de transferência de calor com coeficiente global para achar a área A. A fórmula é:
Q = U\,A\,\Delta T_{lm},
onde
  • Q é a taxa de calor em \mathrm{W},
  • U é o coeficiente global em \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)},
  • A é a área de troca em \mathrm{m^2},
  • \Delta T_{lm} é a diferença de temperatura média logarítmica em ^\circ\mathrm{C}.
Isolando A:
A = \frac{Q}{U\,\Delta T_{lm}}.
Substituo os valores (todos em SI):
A = \frac{78\,000}{2105 \cdot 47,21}\\ \mathrm{m^2}.
Calculo o denominador passo a passo:
2105 \cdot 47,21 \approx 99\,372{,}4.
Então
A \approx \frac{78\,000}{99\,372{,}4} \approx 0{,}7847\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando convenientemente: A\approx 0{,}785\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Relacionar a área de troca com o diâmetro externo do tubo. O enunciado diz que a condensação ocorre no espaço anular externo do tubo e o alimento flui no tubo interno — a superfície efetiva de troca é a superfície externa do tubo interno. Para um tubo simples de comprimento L o área lateral externa é:
A = \pi\,D_o\,L,
onde D_o é o diâmetro externo do tubo e L é o comprimento do tubo.
Isolando D_o:
D_o = \frac{A}{\pi\,L}.
Substituo A=0{,}7847\\ \mathrm{m^2} e L=5\\ \mathrm{m}:
D_o = \frac{0{,}7847}{\pi\cdot 5}.
Faço a conta:
\pi\cdot 5 \approx 15{,}70796,
D_o \approx \frac{0{,}7847}{15{,}70796} \approx 0{,}04997\\ \mathrm{m}.
Portanto D_o\approx 0{,}0500\\ \mathrm{m} (ou 50{,}0\\ \mathrm{mm}).

Passo 6

Calcular o diâmetro interno D_i usando a espessura t. A relação entre diâmetros e espessura (parede uniforme) é:
t = \frac{D_o - D_i}{2}\quad\Longrightarrow\quad D_i = D_o - 2t.
Substituo D_o=0{,}04997\\ \mathrm{m} e t=0{,}002\\ \mathrm{m}:
D_i = 0{,}04997 - 2\cdot 0{,}002 = 0{,}04997 - 0{,}004 = 0{,}04597\\ \mathrm{m}.
Logo D_i\approx 0{,}0460\\ \mathrm{m} (ou 46{,}0\\ \mathrm{mm}).

Resposta

Área de troca térmica: 0{,}785\\ \mathrm{m^2}
Diâmetro externo do tubo: 0{,}0500\\ \mathrm{m} (50,0 mm)
Diâmetro interno do tubo: 0{,}0460\\ \mathrm{m} (46,0 mm)

Exercícios relacionados