Na intenção de avaliar a filtração em batelada da lama oriunda da clarificação de lodo branco, procurou-se avaliar o desempenho de uma unidade experimental de filtração com fração mássica absoluta de sólido igual a 0,106 (g sólido/g líquido). Para verificar a influência da pressão, foram realizados dois ensaios experimentais em um filtro prensa de área igual a 0,35 \mathrm{m}^{2} que forneceram os resultados de volume de filtrado ao longo do tempo, apresentados na Tabela 1. O gestor de processo solicitou ao profissional, que estimasse a capacidade do filtro, C , de 50 litros de filtrado, sabendo que tal filtro opera a \Delta \mathrm{p}=12 bar, e que foram utilizados 2 litros de líquido de lavagem, bem como foram despendidos 5 min para descarga, limpeza e montagem do filtro. Considere \mu=2,0 \mathrm{cP} e \rho=1,11 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, assim como o volume de filtrado produzido venha a ser muito maior do que o volume da torta.
V_{\text {filtrado }} (Litro)
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
t(\mathrm{~s})\left(\Delta p_{1}=2,0\right. bar )
14,0
24,2
37,0
51,7
69,0
88,8
110,0
134,0
160,0
t(\mathrm{~s})\left(\Delta p_{2}=3,5\right. bar )
9,5
16,3
24,6
34,7
46,1
59,0
73,6
89,4
107,3
Passo 1
O enunciado pede que eu estime a “capacidade do filtro, C, de 50) litros de filtrado” sabendo que o filtro opera a \Delta p=12 bar, que foram usados 2 L de lavagem e que se gastaram 5 min para descarga/limpeza/montagem. Dados fornecidos (do enunciado e da Tabela 1):
Área do filtro: A=0{,}35\\ \mathrm{m}^{2}.
Fração mássica absoluta de sólidos (massa de sólido por massa de líquido): w=0{,}106 (adimensional).
Viscosidade do líquido: \mu=2{,}0\\ \mathrm{cP}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Densidade (do líquido ou da suspensão fornecida): \rho=1{,}11\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1110\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Pressões dos ensaios experimentais: \Delta p_{1}=2{,}0\\ \mathrm{bar}=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e \Delta p_{2}=3{,}5\\ \mathrm{bar}=3{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Tabela de volumes de filtrado e tempos (os volumes estão em litros; na resolução converto para \mathrm{m}^{3}):
Volumes V (L): 1{,}0;1{,}5;2{,}0;2{,}5;3{,}0;3{,}5;4{,}0;4{,}5;5{,}0.
Tempos t (s) para \Delta p_{1}=2{,}0\\ \mathrm{bar}: 14{,}0;24{,}2;37{,}0;51{,}7;69{,}0;88{,}8;110{,}0;134{,}0;160{,}0.
Tempos t (s) para \Delta p_{2}=3{,}5\\ \mathrm{bar}: 9{,}5;16{,}3;24{,}6;34{,}7;46{,}1;59{,}0;73{,}6;89{,}4;107{,}3.
Observação importante: o enunciado diz que o volume de filtrado produzido é muito maior que o volume da torta (portanto desprezamos eventuais correções de volume de torta sobre o volume de filtrado). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Apresento a equação teórica do processo de filtração em pressão constante (modelo de torta incompressível), e explico cada termo com calma.
Modelo diferencial (lei de Darcy para fluxo através do meio filtrante): a vazão instantânea dV/dt é dada por
Relação entre resistência da torta e volume filtrado: se \alpha é a resistência específica da torta (m/kg) e m é a massa de sólidos depositada por área, então
R_{c}=\alpha\frac{m}{A}.
A massa total de sólidos depositada até filtrar volume V é a massa de sólidos contida no líquido filtrado: massa de sólidos =w\cdot\rho\cdot V (pois w é massa de sólido por massa de líquido, \rho converte volume para massa). Assim
\frac{m}{A}=\frac{w\,\rho\,V}{A}.
Então
R_{c}=\alpha\frac{w\,\rho\,V}{A}.
Substituindo em \dfrac{dV}{dt} e rearranjando para integrar:
B=\dfrac{\mu R_{m}}{\Delta p\,A} tem unidade \mathrm{s/m^{3}} e representa o termo linear (associado à resistência do meio).
C=\dfrac{\mu\alpha w\rho}{2\Delta p A^{2}} tem unidade \mathrm{s/m^{6}} e é o coeficiente do termo quadrático (associado à resistência da torta que cresce com V).
Uma forma prática para ajustar dados experimentais é dividir a equação por V:
com S=B e K=C. Assim t/V é linear em V: ajustando uma reta y=S+Kx aos dados (x=V,\\ y=t/V) para um dado \Delta p obtemos S e K. A partir de S e K podemos calcular R_{m} e \alpha (para esse \Delta p) por:
Calculo de \dfrac{t}{V} (exemplo: para V=0{,}001\\ \mathrm{m}^{3}, t/V=14{,}0/0{,}001=14000\\ \mathrm{s/m^{3}}). Os valores (apresento arredondados com 4 casas significativas):
Nota: verifiquei que V\cdot (t/V)=t, portanto a soma de V(t/V) sobre todos os pontos é a soma dos tempos, o que usei nos cálculos estatísticos seguintes.
Passo 4
Ajusto uma reta t/V=S+K\,V por mínimos quadrados para cada pressão experimental. Para isso uso as fórmulas clássicas (com N=9 pontos):
Comentário: os dois ensaios fornecem valores do mesmo ordem de grandeza; diferenças são esperáveis por ruído experimental. Para prever em \Delta p=12 bar faço uma média razoável dos parâmetros obtidos experimentalmente.
Passo 6
Faço a média aritmética dos parâmetros estimados (opção prática e comum quando os dois ensaios são coerentes e não há clara tendência de compressibilidade da torta):
Justificativa didática: média simples é aceitável quando não se tem razão para dar peso maior a um ensaio (pressões e qualidade dos ajustes foram razoáveis). Se houvesse maiores diferenças faríamos ajuste global minimizando erro sobre todos os dados simultaneamente.
Passo 7
Agora uso o modelo para prever o tempo de filtração sob \Delta p=12\\ \mathrm{bar}=1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, para filtrar o volume total que precisa ser filtrado: 50 L de produto final mais 2 L de lavagem \Rightarrow volume total que passa pelo filtro V_{\text{tot}}=52\\ \mathrm{L}=0{,}052\\ \mathrm{m}^{3}.
Considero o tempo adicional fixo de 5 minutos (= 300 s) para descarga, limpeza e montagem do filtro (fornecido no enunciado). O tempo total por ciclo (produzir 50 L de filtrado) é:
Agora calculo a “capacidade” interpretada como taxa prática de produção (litros por hora) desse filtro quando se deseja produzir 50 L por ciclo. A taxa (produção efetiva) é:
Também apresento o número de ciclos por hora (útil como outra medida de capacidade):
\text{Ciclos por hora}=\frac{3600}{t_{\text{total}}}\approx\frac{3600}{2591{,}05}\approx1{,}389\\ \text{ciclos/h}.
Resposta
Tempo total por ciclo \approx2591{,}05\\ \mathrm{s}\approx43{,}18\\ \mathrm{min}.
Capacidade prática (produção) \approx69{,}47\\ \mathrm{L/h} (para um ciclo de 50 L, incluindo 2 L de lavagem e 5 min de paralisação).