Na intenção de avaliar a filtração em batelada da lama oriunda da clarificação de lodo branco, procurou-se avaliar o desempenho de uma unidade experimental de filtração com fração mássica absoluta de sólido igual a 0,106 (g sólido/g líquido). Para verificar a influência da pressão, foram realizados dois ensaios experimentais em um filtro prensa de área igual a 0,35 \mathrm{m}^{2} que forneceram os resultados de volume de filtrado ao longo do tempo, apresentados na Tabela 1. O gestor de processo solicitou ao profissional, que estimasse a capacidade do filtro, C , de 50 litros de filtrado, sabendo que tal filtro opera a \Delta \mathrm{p}=12 bar, e que foram utilizados 2 litros de líquido de lavagem, bem como foram despendidos 5 min para descarga, limpeza e montagem do filtro. Considere \mu=2,0 \mathrm{cP} e \rho=1,11 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, assim como o volume de filtrado produzido venha a ser muito maior do que o volume da torta.
V_{\text {filtrado }} (Litro) 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
t(\mathrm{~s})\left(\Delta p_{1}=2,0\right. bar ) 14,0 24,2 37,0 51,7 69,0 88,8 110,0 134,0 160,0
t(\mathrm{~s})\left(\Delta p_{2}=3,5\right. bar ) 9,5 16,3 24,6 34,7 46,1 59,0 73,6 89,4 107,3

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a “capacidade do filtro, C, de 50) litros de filtrado” sabendo que o filtro opera a \Delta p=12 bar, que foram usados 2 L de lavagem e que se gastaram 5 min para descarga/limpeza/montagem. Dados fornecidos (do enunciado e da Tabela 1):
  • Área do filtro: A=0{,}35\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Fração mássica absoluta de sólidos (massa de sólido por massa de líquido): w=0{,}106 (adimensional).
  • Viscosidade do líquido: \mu=2{,}0\\ \mathrm{cP}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Densidade (do líquido ou da suspensão fornecida): \rho=1{,}11\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1110\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pressões dos ensaios experimentais: \Delta p_{1}=2{,}0\\ \mathrm{bar}=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e \Delta p_{2}=3{,}5\\ \mathrm{bar}=3{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Tabela de volumes de filtrado e tempos (os volumes estão em litros; na resolução converto para \mathrm{m}^{3}):
    • Volumes V (L): 1{,}0;1{,}5;2{,}0;2{,}5;3{,}0;3{,}5;4{,}0;4{,}5;5{,}0.
    • Tempos t (s) para \Delta p_{1}=2{,}0\\ \mathrm{bar}: 14{,}0;24{,}2;37{,}0;51{,}7;69{,}0;88{,}8;110{,}0;134{,}0;160{,}0.
    • Tempos t (s) para \Delta p_{2}=3{,}5\\ \mathrm{bar}: 9{,}5;16{,}3;24{,}6;34{,}7;46{,}1;59{,}0;73{,}6;89{,}4;107{,}3.
Observação importante: o enunciado diz que o volume de filtrado produzido é muito maior que o volume da torta (portanto desprezamos eventuais correções de volume de torta sobre o volume de filtrado). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Apresento a equação teórica do processo de filtração em pressão constante (modelo de torta incompressível), e explico cada termo com calma.
  • Modelo diferencial (lei de Darcy para fluxo através do meio filtrante): a vazão instantânea dV/dt é dada por
\frac{dV}{dt}=\frac{\Delta p\,A}{\mu\,\bigl(R_{m}+R_{c}\bigr)},
onde:
  • \Delta p é a diferença de pressão aplicada (Pa),
  • A é a área de filtração ( \mathrm{m}^{2}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s),
  • R_{m} é a resistência do meio filtrante (m ^{-1}),
  • R_{c} é a resistência da torta (m ^{-1}).
  • Relação entre resistência da torta e volume filtrado: se \alpha é a resistência específica da torta (m/kg) e m é a massa de sólidos depositada por área, então
R_{c}=\alpha\frac{m}{A}.
A massa total de sólidos depositada até filtrar volume V é a massa de sólidos contida no líquido filtrado: massa de sólidos =w\cdot\rho\cdot V (pois w é massa de sólido por massa de líquido, \rho converte volume para massa). Assim
\frac{m}{A}=\frac{w\,\rho\,V}{A}.
Então
R_{c}=\alpha\frac{w\,\rho\,V}{A}.
  • Substituindo em \dfrac{dV}{dt} e rearranjando para integrar:
\frac{dV}{dt}=\frac{\Delta p\,A}{\mu\left(R_{m}+\alpha\frac{w\,\rho\,V}{A}\right)}.
Invertemos e integramos de 0 a V para obter t como função de V. O resultado é a forma quadrática clássica
t=\underbrace{\frac{\mu\,R_{m}}{\Delta p\,A}}_{=B}\,V+\underbrace{\frac{\mu\,\alpha\,w\,\rho}{2\,\Delta p\,A^{2}}}_{=C}\,V^{2}.
Explicação dos parâmetros:
  • B=\dfrac{\mu R_{m}}{\Delta p\,A} tem unidade \mathrm{s/m^{3}} e representa o termo linear (associado à resistência do meio).
  • C=\dfrac{\mu\alpha w\rho}{2\Delta p A^{2}} tem unidade \mathrm{s/m^{6}} e é o coeficiente do termo quadrático (associado à resistência da torta que cresce com V).
Uma forma prática para ajustar dados experimentais é dividir a equação por V:
\frac{t}{V}=\frac{\mu\,R_{m}}{\Delta p\,A}+\frac{\mu\,\alpha\,w\,\rho}{2\,\Delta p\,A^{2}}\,V.
Ou seja:
\frac{t}{V}=S+K\,V,
com S=B e K=C. Assim t/V é linear em V: ajustando uma reta y=S+Kx aos dados (x=V,\\ y=t/V) para um dado \Delta p obtemos S e K. A partir de S e K podemos calcular R_{m} e \alpha (para esse \Delta p) por:
R_{m}=\frac{S\,\Delta p\,A}{\mu},\qquad \alpha=\frac{2\,\Delta p\,A^{2}\,K}{\mu\,w\,\rho}.

Passo 3

Transformo os dados (volumes em litros \to \mathrm{m}^{3}) e calculo \dfrac{t}{V} para cada ponto, para os dois ensaios.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{L}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Vetor de volumes em \mathrm{m}^{3}:
V=\{0{,}001;\\\ 0{,}0015;\\\ 0{,}002;\\\ 0{,}0025;\\\ 0{,}003;\\\ 0{,}0035;\\\ 0{,}004;\\\ 0{,}0045;\\\ 0{,}005\}.
Calculo de \dfrac{t}{V} (exemplo: para V=0{,}001\\ \mathrm{m}^{3}, t/V=14{,}0/0{,}001=14000\\ \mathrm{s/m^{3}}). Os valores (apresento arredondados com 4 casas significativas):
  • Para \Delta p_{1}=2{,}0\\ \mathrm{bar}:
\frac{t}{V}=\{14000;\\\ 16133{,}333;\\\ 18500;\\\ 20680;\\\ 23000;\\\ 25371{,}429;\\\ 27500;\\\ 29777{,}778;\\\ 32000\}\\ \mathrm{s/m^{3}}.
  • Para \Delta p_{2}=3{,}5\\ \mathrm{bar}:
\frac{t}{V}=\{9500;\\\ 10866{,}667;\\\ 12300;\\\ 13880;\\\ 15366{,}667;\\\ 16857{,}143;\\\ 18400;\\\ 19866{,}667;\\\ 21460\}\\ \mathrm{s/m^{3}}.
Nota: verifiquei que V\cdot (t/V)=t, portanto a soma de V(t/V) sobre todos os pontos é a soma dos tempos, o que usei nos cálculos estatísticos seguintes.

Passo 4

Ajusto uma reta t/V=S+K\,V por mínimos quadrados para cada pressão experimental. Para isso uso as fórmulas clássicas (com N=9 pontos):
K=\frac{N\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{N\sum x_{i}^{2}-(\sum x_{i})^{2}},\qquad S=\frac{\sum y_{i}-K\sum x_{i}}{N},
onde x_{i}=V_{i} (em \mathrm{m}^{3}) e y_{i}=t_{i}/V_{i} (em \mathrm{s/m^{3}}).
Calculei (resumo dos somatórios; os detalhes aritméticos numéricos estão nos cálculos):
\sum x_{i}=0{,}027\\ \mathrm{m^{3}},\qquad \sum x_{i}^{2}=9{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{6}}.
Para \Delta p_{1}=2{,}0\\ \mathrm{bar}:
\sum y_{i}\approx206962{,}54\\ \mathrm{s/m^{3}},\qquad \sum x_{i}y_{i}=\sum t_{i}\approx688{,}7\\ \mathrm{s}.
Aplicando as fórmulas obtive:
K_{1}\approx4{,}520{,}082{,}37\\ \mathrm{s/m^{6}},\qquad S_{1}\approx9{,}435{,}5907\\ \mathrm{s/m^{3}}.
Para \Delta p_{2}=3{,}5\\ \mathrm{bar}:
\sum y_{i}\approx138497{,}143\\ \mathrm{s/m^{3}},\qquad \sum x_{i}y_{i}=\sum t_{i}\approx460{,}5\\ \mathrm{s},
e então:
K_{2}\approx3{,}000{,}574{,}0\\ \mathrm{s/m^{6}},\qquad S_{2}\approx6{,}386{,}8495\\ \mathrm{s/m^{3}}.
Comentário didático: S e K diminuem com \Delta p (esperado, pois ambas as expressões contêm 1/\Delta p).

Passo 5

A partir de S e K calculo R_{m} e \alpha para cada ensaio usando as relações:
R_{m}=\frac{S\,\Delta p\,A}{\mu},\qquad \alpha=\frac{2\,\Delta p\,A^{2}\,K}{\mu\,w\,\rho}.
Substituições numéricas (uso \mu=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, A=0{,}35\\ \mathrm{m^{2}}, w=0{,}106, \rho=1110\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
  • Para \Delta p_{1}=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
    • R_{m,1}=\dfrac{9{,}435{,}5907\cdot(2{,}0\times10^{5})\cdot0{,}35}{2{,}0\times10^{-3}}\approx3{,}302\times10^{11}\\ \mathrm{m^{-1}}.
    • \alpha_{1}=\dfrac{2\cdot(2{,}0\times10^{5})\cdot(0{,}35)^{2}\cdot4{,}520{,}082{,}37}{(2{,}0\times10^{-3})\cdot0{,}106\cdot1110}\approx9{,}414\times10^{11}\\ \mathrm{m/kg}.
  • Para \Delta p_{2}=3{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
    • R_{m,2}=\dfrac{6{,}386{,}8495\cdot(3{,}5\times10^{5})\cdot0{,}35}{2{,}0\times10^{-3}}\approx3{,}912\times10^{11}\\ \mathrm{m^{-1}}.
    • \alpha_{2}=\dfrac{2\cdot(3{,}5\times10^{5})\cdot(0{,}35)^{2}\cdot3{,}000{,}574{,}0}{(2{,}0\times10^{-3})\cdot0{,}106\cdot1110}\approx1{,}093\times10^{12}\\ \mathrm{m/kg}.
Comentário: os dois ensaios fornecem valores do mesmo ordem de grandeza; diferenças são esperáveis por ruído experimental. Para prever em \Delta p=12 bar faço uma média razoável dos parâmetros obtidos experimentalmente.

Passo 6

Faço a média aritmética dos parâmetros estimados (opção prática e comum quando os dois ensaios são coerentes e não há clara tendência de compressibilidade da torta):
R_{m,\text{médio}}=\frac{R_{m,1}+R_{m,2}}{2}\approx\frac{3{,}302\times10^{11}+3{,}912\times10^{11}}{2}\approx3{,}607\times10^{11}\\ \mathrm{m^{-1}},é
\alpha_{\text{médio}}=\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2}\approx\frac{9{,}414\times10^{11}+1{,}093\times10^{12}}{2}\approx1{,}017\times10^{12}\\ \mathrm{m/kg}.é
Justificativa didática: média simples é aceitável quando não se tem razão para dar peso maior a um ensaio (pressões e qualidade dos ajustes foram razoáveis). Se houvesse maiores diferenças faríamos ajuste global minimizando erro sobre todos os dados simultaneamente.

Passo 7

Agora uso o modelo para prever o tempo de filtração sob \Delta p=12\\ \mathrm{bar}=1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, para filtrar o volume total que precisa ser filtrado: 50 L de produto final mais 2 L de lavagem \Rightarrow volume total que passa pelo filtro V_{\text{tot}}=52\\ \mathrm{L}=0{,}052\\ \mathrm{m}^{3}.
Relembre a fórmula:
t=\frac{\mu\,R_{m}}{\Delta p\,A}\,V+\frac{\mu\,\alpha\,w\,\rho}{2\,\Delta p\,A^{2}}\,V^{2}.
Defino os coeficientes para \Delta p=1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}:
B=\frac{\mu R_{m,\text{médio}}}{\Delta p\,A},\qquad C=\frac{\mu\alpha_{\text{médio}}\,w\,\rho}{2\,\Delta p\,A^{2}}.éé
Substituindo números:
B=\frac{2{,}0\times10^{-3}\cdot 3{,}607\times10^{11}}{(1{,}2\times10^{6})\cdot0{,}35}\approx1717{,}6\\ \mathrm{s/m^{3}},
C=\frac{2{,}0\times10^{-3}\cdot1{,}017\times10^{12}\cdot0{,}106\cdot1110}{2\cdot(1{,}2\times10^{6})\cdot(0{,}35)^{2}} \approx8{,}14\times10^{5}\\ \mathrm{s/m^{6}}.
Cálculo do tempo de filtração para V=V_{\text{tot}}=0{,}052\\ \mathrm{m^{3}}:
t_{\text{filtração}}=B\,V+C\,V^{2}\approx1717{,}6\cdot0{,}052+8{,}14\times10^{5}\cdot(0{,}052)^{2}.çã
Computando:
B\,V\approx89{,}32\\ \mathrm{s},\qquad C\,V^{2}\approx2201{,}73\\ \mathrm{s},
logo
t_{\text{filtração}}\approx2291{,}05\\ \mathrm{s}\approx38{,}18\\ \mathrm{min}.çã

Passo 8

Considero o tempo adicional fixo de 5 minutos (= 300 s) para descarga, limpeza e montagem do filtro (fornecido no enunciado). O tempo total por ciclo (produzir 50 L de filtrado) é:
t_{\text{total}}=t_{\text{filtração}}+300\\ \mathrm{s}\approx2291{,}05+300\approx2591{,}05\\ \mathrm{s}\approx43{,}18\\ \mathrm{min}.çã
Agora calculo a “capacidade” interpretada como taxa prática de produção (litros por hora) desse filtro quando se deseja produzir 50 L por ciclo. A taxa (produção efetiva) é:
\text{Taxa}=\frac{50\\ \mathrm{L}}{t_{\text{total}}}\\ \times3600\\ \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{h}}= \frac{50}{2591{,}05/3600}\\ \mathrm{L/h}\approx69{,}47\\ \mathrm{L/h}.
Também apresento o número de ciclos por hora (útil como outra medida de capacidade):
\text{Ciclos por hora}=\frac{3600}{t_{\text{total}}}\approx\frac{3600}{2591{,}05}\approx1{,}389\\ \text{ciclos/h}.

Resposta

Tempo total por ciclo \approx2591{,}05\\ \mathrm{s}\approx43{,}18\\ \mathrm{min}.
Capacidade prática (produção) \approx69{,}47\\ \mathrm{L/h} (para um ciclo de 50 L, incluindo 2 L de lavagem e 5 min de paralisação).

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