Bombeia-se gasolina através de um tubo de ferro galvanizado ( \epsilon=0,0005 \mathrm{ft} ) com diâmetro de 8in ao longo de um tubo horizontal com 300 m de comprimento. A pressão absoluta na saída da bomba (instalada no início do tubo) é igual a 60 l b f / i n^{2} e a pressão de saída do tubo é atmosférica. Determinar a vazão escoada no tubo.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a vazão volumétrica escoada através de um tubo horizontal de ferro galvanizado (rugosidade \epsilon=0{,}0005\\ \mathrm{ft}), diâmetro \,8\\ \mathrm{in}, comprimento 300\\ \mathrm{m}. A pressão absoluta na saída da bomba (início do tubo) é 60\\ \mathrm{lbf/in^2} e a pressão na saída do tubo é atmosférica.
Informações relevantes dadas:
\epsilon=0{,}0005\\ \mathrm{ft},\quad D=8\\ \mathrm{in},\quad L=300\\ \mathrm{m},\quad p_{1}=60\\ \mathrm{lbf/in^2},\quad p_{2}=p_{\text{atm}}.
O que se pede: a vazão volumétrica Q no tubo.

Passo 2

Estratégia (em linguagem direta): a diferença de pressão fornecida pela bomba \Delta p=p_1-p_2 é gasta principalmente em perda por atrito ao longo do tubo (tubo horizontal, variação de elevação desprezível). Usamos a equação de energia simplificada para fluxo permanente entre a entrada e a saída:
\frac{\Delta p}{\gamma}=h_f,
onde \gamma é o peso específico do fluido e h_f é a perda de carga por atrito. A perda de carga por atrito pelo modelo de Darcy–Weisbach é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy, V é a velocidade média do fluido, g é a aceleração da gravidade. A vazão é Q=A V com A=\pi D^2/4. O fator f depende de Reynolds e da rugosidade relativa \epsilon/D; vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (prática e rápida para cálculo à prova) e iterar até convergir.

Passo 3

Conversões e propriedades do combustível (assunções explícitas):
  • Converto unidades do enunciado para um sistema consistente (pés, segundos, libras-força) para aplicação direta das fórmulas de perda de carga em unidades inglesas.
  • Diâmetro:
D = 8\\ \mathrm{in} = \frac{8}{12}\\ \mathrm{ft} = 0{,}6666667\\ \mathrm{ft}.
  • Comprimento:
L = 300\\ \mathrm{m} = 300\times3{,}28084\\ \mathrm{ft} = 984{,}25\\ \mathrm{ft}.
  • Diferença de pressão:
\Delta p = 60\\ \mathrm{lbf/in^2} = 60\times144\\ \mathrm{lbf/ft^2} = 8640\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
  • Precisamos de peso específico \gamma e viscosidade cinemática \nu da gasolina. O enunciado não fornece propriedades, então adoto valores típicos à temperatura ambiente (20 °C) e explicito-os:
\rho \approx 720\\ \mathrm{kg/m^3}\quad(\text{aprox. gasolina}),
isto corresponde em unidades inglesas a
\rho \approx 44{,}95\\ \mathrm{lbm/ft^3}\quad\Rightarrow\quad \gamma=\rho g \approx 44{,}95\\ \mathrm{lbf/ft^3}.
Para viscosidade cinemática tomo um valor típico
\nu \approx 6{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
Converto \nu para \mathrm{ft^2/s} usando 1\\ \mathrm{m^2/s}=10{,}7639\\ \mathrm{ft^2/s}:
\nu \approx 6{,}5\times10^{-7}\times10{,}7639 \approx 6{,}99\times10^{-6}\\ \mathrm{ft^2/s}.
(Se suas propriedades de gasolina forem outras, o procedimento é o mesmo; apenas mudará o Reynolds e, possivelmente, f.)
  • Aceleração da gravidade:
g = 32{,}174\\ \mathrm{ft/s^2}.

Passo 4

Escrevo a relação entre a pressão disponível e a perda por atrito:
\frac{\Delta p}{\gamma} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Isolo V:
V = \sqrt{\frac{2g}{f}\,\frac{\Delta p}{\gamma}\,\frac{D}{L}}.
Essa expressão mostra que, para determinar V, precisamos de f. Mas f depende de V (via Reynolds), então faremos uma iteração.

Passo 5

Calculo alguns termos numéricos constantes (usando \gamma=44{,}95\\ \mathrm{lbf/ft^3} e valores já convertidos):
\frac{\Delta p}{\gamma} = \frac{8640}{44{,}95}\approx 192{,}3\\ \mathrm{ft}\quad(\text{unidade: pés de coluna do fluido}),é
faço o produto 2g\frac{\Delta p}{\gamma}\frac{D}{L} (pré‑fator dentro da raiz):
C \equiv 2g\frac{\Delta p}{\gamma}\frac{D}{L} =2\times32{,}174\times192{,}3\times\frac{0{,}6666667}{984{,}25} \approx 8{,}55.
Portanto
V=\sqrt{\frac{C}{f}}=\frac{2{,}9257}{\sqrt{f}}\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 6

Fator de atrito: uso a fórmula de Swamee–Jain (explícita e adequada para regimes turbulentos):
f = 0{,}25\Bigg[\log_{10}\!\Big(\frac{\epsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Big)\Bigg]^{-2}.
Aqui a rugosidade relativa é
\frac{\epsilon}{D}=\frac{0{,}0005}{0{,}6666667}=0{,}00075,
e
\frac{\epsilon}{3{,}7D}=\frac{0{,}0005}{3{,}7\times0{,}6666667}\approx 2{,}027\times10^{-4}.
O número de Reynolds será
\mathrm{Re}=\frac{VD}{\nu}=\frac{2{,}9257}{\sqrt{f}}\cdot\frac{0{,}6666667}{6{,}99\times10^{-6}} \approx\frac{2{,}786\times10^{5}}{\sqrt{f}}.

Passo 7

Iteração para obter f e \mathrm{Re}.
  1. Chute inicial: f_0=0{,}02.
\sqrt{f_0}=0{,}1414\quad\Rightarrow\quad \mathrm{Re}_0\approx\frac{2{,}786\times10^{5}}{0{,}1414}\approx1{,}97\times10^{6}.
Calculo f_1 pela Swamee–Jain:
f_1 = 0{,}25\Big[\log_{10}\big(2{,}027\times10^{-4} + 5{,}74/\mathrm{Re}_0^{0{,}9}\big)\Big]^{-2}.
Como \mathrm{Re}_0^{0{,}9} é grande, o segundo termo é pequeno; computando numericamente obtemos
f_1\approx 0{,}0186.
  1. Segunda iteração:
\sqrt{f_1}=0{,}1364\quad\Rightarrow\quad \mathrm{Re}_1\approx\frac{2{,}786\times10^{5}}{0{,}1364}\approx2{,}04\times10^{6}.
Reaplico Swamee–Jain e encontro
f_2\approx 0{,}0186.
Já há convergência (mudança insignificante). Assim tomo
f\approx0{,}0186.
(Observação didática: em tubos relativamente grandes e com pressões elevadas, o fluxo fica bem turbulento, \mathrm{Re}\sim10^{6}, e f depende sobretudo da rugosidade relativa \epsilon/D. A fórmula de Colebrook é implícita; Swamee–Jain é uma aproximação explícita prática.)

Passo 8

Com o valor de f calculado, obtenho a velocidade média:
V=\frac{2{,}9257}{\sqrt{0{,}0186}}\approx21{,}45\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 9

Calculo a vazão volumétrica Q. Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\pi\frac{(0{,}6666667)^2}{4}=\pi\times0{,}1111111\approx0{,}34907\\ \mathrm{ft^2}.
Portanto
Q = A V \approx 0{,}34907\times21{,}45 \approx 7{,}49\\ \mathrm{ft^3/s}.
Converto para unidades do SI:
1\\ \mathrm{ft^3/s}=0{,}0283168\\ \mathrm{m^3/s}\quad\Rightarrow\quad Q\approx7{,}49\times0{,}0283168\approx0{,}212\\ \mathrm{m^3/s}.
Em litros por segundo: Q\approx212\\ \mathrm{L/s}. Em \mathrm{m^3/h}: Q\approx0{,}212\times3600\approx763\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 10

Resumo / inspeção final: a solução supõe propriedades típicas da gasolina ( \rho e \nu). Se você tiver valores diferentes de densidade ou viscosidade para a temperatura de prova, basta recalcular \gamma e \nu e repetir a iteração; o procedimento é idêntico. O valor obtido é coerente com um tubo largo ( 8\\ \mathrm{in}) e uma queda de pressão significativa ( 60\\ \mathrm{psi}) ao longo de 300\\ \mathrm{m}: obtém‑se fluxo forte, regime turbulento.

Resposta

Q = 7{,}49\\ \mathrm{ft^3/s}
Q = 0{,}212\\ \mathrm{m^3/s}

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