Uma bomba flutuante retira etanol de um grande reservatório através de um tubo de 150 mm de diâmetro, recalcando através de um tubo de 75 mm de diâmetro. A extremidade 1 está na superfície livre do reservatório e a extremidade 2, no ponto de saída do tubo de recalque (situado 3 m acima da superfície livre do reservatório) a pressão é 170 kPa . A velocidade média no tubo de recalque é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerar que: (a) eficiência da bomba de 75 \%; e (b) \tilde{u}_{2} \approx \tilde{u}_{1}. Calcular a potência necessária para operar a bomba.

Passo 1

O enunciado pede a potência necessária para operar a bomba que aspira etanol de um reservatório (ponto 1, superfície livre) e o recalca para o ponto 2, situado 3\\ \mathrm{m} acima da superfície. Dados fornecidos e hipóteses importantes:
  • diâmetro do tubo de sucção (extremidade 1): d_1 = 150\\ \mathrm{mm} = 0{,}150\\ \mathrm{m};
  • diâmetro do tubo de recalque (extremidade 2): d_2 = 75\\ \mathrm{mm} = 0{,}075\\ \mathrm{m};
  • pressão no ponto 2: p_2 = 170\\ \mathrm{kPa} = 170\,000\\ \mathrm{Pa};
  • diferença de cota: z_2 - z_1 = 3\\ \mathrm{m} (ponto 1 na superfície livre);
  • velocidade média no tubo de recalque: \tilde{u}_2 = 3\\ \mathrm{m/s};
  • eficiência da bomba: \eta = 0{,}75;
  • hipótese fornecida: \tilde{u}_2 \approx \tilde{u}_1 (ou seja, podemos desprezar a variação de energia cinética entre 1 e 2);
  • pressão no ponto 1 (superfície livre) é a pressão atmosférica: p_1 = p_{\mathrm{atm}} \approx 101{,}3\\ \mathrm{kPa} = 101\,300\\ \mathrm{Pa}.
    Além disso precisamos da densidade do etanol; como não foi dada no enunciado, vou usar o valor típico a 20^\circ\mathrm{C}:
  • densidade do etanol: \rho = 789\\ \mathrm{kg/m^3}.
    Objetivo numérico: calcular a potência da bomba (potência de eixo) necessária para elevar o fluido e fornecer a pressão exigida no ponto 2, considerando a eficiência.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica \,Q usando a área do tubo de recalque e a velocidade média dada.
Área do tubo de recalque:
A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (0{,}075)^2}{4}.
Calculemos numericamente:
A_2 = \frac{\pi \cdot 0{,}005625}{4} = \pi\cdot 0{,}00140625 \approx 0{,}0044179\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica:
Q = A_2 \tilde{u}_2 = 0{,}0044179 \times 3 \approx 0{,}0132537\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Calcular a vazão mássica \dot{m}:
\dot{m} = \rho Q = 789 \times 0{,}0132537 \approx 10{,}46\\ \mathrm{kg/s}.
(Arredondei a três dígitos significativos: \dot{m}\approx 10{,}46\\ \mathrm{kg/s}.)

Passo 4

Escrever a expressão da potência útil (potência hidráulica) que a bomba precisa fornecer ao fluido. Usamos a forma energética por unidade de massa entre 1 e 2 (equação da energia sem perdas distribuídas e desprezando termos de trabalho além da bomba):
\dot{W}_{\text{hid}} = \dot{m}\left(\frac{p_2-p_1}{\rho} + g\,(z_2-z_1) + \frac{\tilde{u}_2^2-\tilde{u}_1^2}{2}\right).
Onde:
  • \dot{W}_{\text{hid}} é a potência hidráulica (W);
  • \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s});
  • p_2-p_1 é a diferença de pressão entre 2 e 1 (Pa);
  • \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3});
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2};
  • z_2-z_1=3\\ \mathrm{m};
  • termo cinético (\tilde{u}_2^2-\tilde{u}_1^2)/2 é a variação da energia cinética por unidade de massa.
    Pelo enunciado temos a hipótese \tilde{u}_2 \approx \tilde{u}_1, então podemos desprezar a variação cinética:
\frac{\tilde{u}_2^2-\tilde{u}_1^2}{2}\approx 0.
Assim:
\dot{W}_{\text{hid}} \approx \dot{m}\left(\frac{p_2-p_1}{\rho} + g\,(z_2-z_1)\right).

Passo 5

Calcular os termos numéricos dentro do parênteses.
Diferença de pressão por unidade de massa:
\frac{p_2-p_1}{\rho} = \frac{170\,000 - 101\,300}{789} = \frac{68\,700}{789} \approx 87{,}07\\ \mathrm{J/kg}.
Termo de elevação:
g\,(z_2-z_1) = 9{,}81 \times 3 = 29{,}43\\ \mathrm{J/kg}.
Somando:
\frac{p_2-p_1}{\rho} + g\,(z_2-z_1) \approx 87{,}07 + 29{,}43 = 116{,}50\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 6

Calcular a potência hidráulica:
\dot{W}_{\text{hid}} \approx \dot{m}\times 116{,}50 = 10{,}46 \times 116{,}50 \approx 1{,}218\times 10^{3}\\ \mathrm{W} \approx 1{,}22\\ \mathrm{kW}.
Agora calcular a potência de eixo (potência fornecida ao eixo da bomba), considerando eficiência \eta:
\dot{W}_{\text{eixo}} = \frac{\dot{W}_{\text{hid}}}{\eta} = \frac{1{,}218\times 10^{3}}{0{,}75} \approx 1{,}624\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.
Em unidades mais usuais:
\dot{W}_{\text{eixo}} \approx 1{,}62\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Observações finais e checagem rápida:
  • Desprezei perdas por atrito e pequenas perdas locais porque o enunciado não fornece dados delas; isso é comum em exercícios de prova — se houvesse perdas teríamos de somá‑las ao termo entre parênteses antes de dividir pela eficiência.
  • Usei p_1=p_{\mathrm{atm}}=101{,}3\\ \mathrm{kPa} e \rho=789\\ \mathrm{kg/m^3} (valor típico do etanol). Se a densidade adotada for um pouco diferente, a potência muda proporcionalmente.
  • Se acrescentássemos a variação cinética (usando u_1 obtido por continuidade, u_1=Q/A_1), o resultado aumentaria só um pouco; como o enunciado disse \tilde{u}_2\approx\tilde{u}_1, deixar esse termo foi coerente.

Resposta

\dot{W}_{\text{eixo}} \approx 1{,}62\\ \mathrm{kW}

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