Um bombeiro precisa apoiar uma escada em um muro para alcançar uma janela. A escada forma um ângulo de 60^{\circ} com o chão e a base dela está a 3 metros da parede. Qual é a altura da janela em relação ao chão?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A escada forma um ângulo de 60^\circ com o chão.
  • A distância da base da escada até a parede (o cateto adjacente ao ângulo) é 3 metros.
  • Pergunta: qual é a altura da janela em relação ao chão? (ou seja, qual é o comprimento do cateto oposto ao ângulo, medido em metros)

Passo 2

Vamos imaginar o triângulo retângulo formado pela escada, pelo chão e pelo muro. Identificando os lados:
  • O ângulo junto ao chão vale \theta = 60^\circ.
  • O cateto adjacente a esse ângulo é a distância da base da escada à parede: 3 m.
  • O cateto oposto a esse ângulo é a altura da janela, que vou chamar de h.
  • A hipotenusa é o comprimento da escada (não precisamos dela aqui).
Explicando a ideia que vou usar (de um jeito direto e prático): a razão trigonométrica tangente relaciona exatamente o cateto oposto e o cateto adjacente num triângulo retângulo. A fórmula é
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Aqui, isso significa
\tan\!\big(60^\circ\big)=\frac{h}{3}.
Escolhi a tangente porque ela envolve só os dois catetos e não exige conhecer a hipotenusa — é a forma mais simples para este problema na hora da prova.

Passo 3

Agora precisamos do valor de \tan\!\big(60^\circ\big). Para triângulos especiais (ângulos 30^\circ,60^\circ,90^\circ) conhecemos as razões trigonométricas. Uma maneira curta de obter \tan 60^\circ é lembrar os valores de seno e cosseno:
\sin\!\big(60^\circ\big)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos\!\big(60^\circ\big)=\frac{1}{2}.
A tangente é o quociente \tan=\dfrac{\sin}{\cos}, então
\tan\!\big(60^\circ\big)=\frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)}=\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{3}.
(Se quiser visualizar por cima: pegue um triângulo equilátero de lado 2, divida ao meio — o cateto oposto a 60^\circ vale \sqrt{3} e o adjacente vale 1, daí \tan60^\circ=\sqrt{3}/1=\sqrt{3}.)

Passo 4

Volta à equação que relaciona h e 3:
\tan\!\big(60^\circ\big)=\frac{h}{3}.
Substituindo \tan\!\big(60^\circ\big)=\sqrt{3} temos
\sqrt{3}=\frac{h}{3}.
Isolando h:
h=3\sqrt{3}.

Passo 5

Dar a resposta em forma exata e também aproximada (útil na prova ou na prática):
h=3\sqrt{3}\\ \text{m}\approx 5,196\\ \text{m}.
Faz sentido: como o ângulo é maior que 45^\circ, a altura é maior que a distância da base à parede (ou seja, maior que 3 m).

Resposta

3\sqrt{3}\\ \text{m}\approx 5,196\\ \text{m}

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