Considere a reta r que passa pelo ponto \mathrm{P}(3,-2) e coeficiente linear igual a 5 .
a) Encontre a equação reduzida da reta r.
b) Encontre a equação geral da reta r.
c) Determine o coeficiente angular de r.
d) Verifique se o ponto \mathrm{Q}(7,6) pertence à reta r.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
  • Dado: a reta r passa pelo ponto \mathrm{P}(3,-2).
  • Dado: o coeficiente linear (intercepto em y) é 5. Ou seja, quando x=0 tem-se y=5.
  • Pedidos:
    a) Encontrar a equação reduzida da reta r.
    b) Encontrar a equação geral da reta r.
    c) Determinar o coeficiente angular de r.
    d) Verificar se o ponto \mathrm{Q}(7,6) pertence à reta r.

Passo 2

Primeiro, uma palavrinha sobre como escrever uma reta e o que cada coisa significa (para você entender e poder usar na prova).
  • A forma reduzida (ou forma coeficiente angular-intercepto) de uma reta é
y = m x + b,
onde:
  • m é o coeficiente angular (a inclinação, que diz quanto y varia quando x aumenta de 1);
  • b é o coeficiente linear (o intercepto em y, ou seja, o valor de y quando x=0).
No nosso caso o enunciado já deu b=5, então a reta tem a forma
y = m x + 5.
Para achar m usamos o ponto dado \mathrm{P}(3,-2): ele satisfaz a equação da reta, portanto basta substituir as coordenadas e resolver para m.

Passo 3

Substituindo o ponto \mathrm{P}(3,-2) na forma \;y = m x + 5\;:
-2 = m\cdot 3 + 5.
Agora isolamos m:
-2 - 5 = 3m
-7 = 3m
m = -\dfrac{7}{3}.
Portanto a equação reduzida da reta é
y = -\dfrac{7}{3}x + 5.

Passo 4

Agora vamos passar da forma reduzida para a forma geral (forma Ax+By+C=0). Partimos de
y = -\dfrac{7}{3}x + 5.
Multiplico ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
3y = -7x + 15.
Coloco todos os termos no mesmo lado para ter Ax+By+C=0:
7x + 3y - 15 = 0.
Essa é a equação geral da reta r. (Note que multiplicar a equação por qualquer constante não muda a reta, então essa forma é adequada e com coeficientes inteiros.)

Passo 5

O coeficiente angular já foi calculado: é
m = -\dfrac{7}{3}.
Interpretando rapidinho: como m<0, a reta desce quando x aumenta (é uma reta decrescente).

Passo 6

Agora verificamos se \mathrm{Q}(7,6) pertence à reta. Duas maneiras equivalentes: substituir em y=mx+5 ou em 7x+3y-15=0. Faço pelas duas para ficar cristalino.
Substituindo em \;y = -\dfrac{7}{3}x + 5\;:
\text{lado direito} = -\dfrac{7}{3}\cdot 7 + 5 = -\dfrac{49}{3} + \dfrac{15}{3} = -\dfrac{34}{3}.
O y do ponto \mathrm{Q} é 6, que em terços é \dfrac{18}{3}. Como
-\dfrac{34}{3} \neq \dfrac{18}{3},
o ponto \mathrm{Q} NÃO satisfaz a equação reduzida.
Verificação pela forma geral:
7\cdot 7 + 3\cdot 6 - 15 = 49 + 18 - 15 = 52 \neq 0,
portanto \mathrm{Q}(7,6) não pertence à reta r.

Resposta

(a) y = -\dfrac{7}{3}x + 5
(b) 7x + 3y - 15 = 0
(c) -\dfrac{7}{3}
(d) \mathrm{Q}(7,6) não pertence à reta r

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