(Bônus 0,5 ponto) Provar que a estrutura
é um corpo ordenado, isto é, satisfaz os axiomas de corpo e de ordem.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a estrutura (ℝ,+,·,≤) é um corpo ordenado, ou seja, satisfaz todos os axiomas de corpo (campo) e todos os axiomas de ordem compatível. Vamos usar o fato de que ℝ herda a estrutura de corpo de ℚ (ou da construção via cortes de Dedekind/Cauchy) e que seu ordenamento é bem-definido e total.
Passo 2
Primeiro, verificamos os axiomas de corpo para (ℝ,+,·):
- Fechamento: para todo a,b∈ℝ temos a+b∈ℝ e a·b∈ℝ por definição de operações em ℝ.
- Associatividade e comutatividade de + e ·: são propriedades herdadas de ℚ e mantidas na conclusão para ℝ.
- Elementos neutros: existe 0∈ℝ tal que a+0=a e existe 1∈ℝ tal que a·1=a para todo a∈ℝ.
- Inversos: para todo a∈ℝ existe −a∈ℝ tal que a+(−a)=0; e para todo a≠0 existe a⁻¹∈ℝ tal que a·a⁻¹=1.
- Distributividade: para todo a,b,c∈ℝ vale a·(b+c)=a·b+a·c, herança direta da definição de multiplicação sobre somas.
Passo 3
Agora, verificamos os axiomas de ordem (≤) em ℝ:
- Reflexividade: para todo a∈ℝ tem-se a≤a.
- Antissimetria: se a≤b e b≤a então a=b.
- Transitividade: se a≤b e b≤c então a≤c.
- Totalidade: para quaisquer a,b∈ℝ vale ou a≤b ou b≤a.
Essas propriedades definem uma ordem total e vêm da construção de ℝ como extensão de ℚ, onde esse ordenamento já existia.
Passo 4
Finalmente, checamos a compatibilidade da ordem com as operações:
- Se a≤b então a+c≤b+c para todo c∈ℝ. Isso segue de como somas preservam desigualdades.
- Se 0≤a e 0≤b então 0≤a·b. Isso decorre da definição de produto em ℝ e do sinal preservado na multiplicação de números não negativos.
Passo 5
Como todos os axiomas de corpo e de ordem compatível foram satisfeitos, concluímos que (ℝ,+,·,≤) é um corpo ordenado.
Resposta
(ℝ,+,·,≤) satisfaz todos os axiomas de corpo (fechamento, associatividade, comutatividade, neutros, inversos e distributividade) e todos os axiomas de ordem compatível (ordem total reflexiva, antissimétrica, transitiva e compatibilidade com + e ·), logo é de fato um corpo ordenado.