(Bônus 0,5 ponto) Prove que forall a, b, c in R,
a <= b e c <= 0 Longrightarrow b c <= a c

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados quaisquer reais a, b, c, se a <= b e c <= 0 então b c <= a c. O conteúdo é desigualdade em R e vamos usar a propriedade de que multiplicar uma desigualdade por número negativo inverte o sinal.

Passo 2

Como c <= 0, definimos d = -c. Assim temos d >= 0 e c = -d. Esse passo nos permite trabalhar com d não negativo.

Passo 3

Partindo de a <= b, multiplicamos ambos os lados por d >= 0. Pelas propriedades de desigualdade, isso não altera o sinal, logo
a d <= b d

Passo 4

Agora multiplicamos essa desigualdade por -1). Ao multiplicar por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte:
-a d >= -b d

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original c, lembrando que -a d = a(-d) = a c e -b d = b(-d) = b c. Assim
a c >= b c,
ou seja
b c <= a c

Resposta

b c <= a c

Exercícios relacionados