(2,5 pontos). Prove por indução finita que, para todo
, vale
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos provar por indução finita que para todo inteiro n≥1 a soma dos termos da progressão aritmética de primeiro termo 2, razão 5 e n+1 termos, isto é, 2+7+12+…+(5n+2), é dada pela fórmula
O conteúdo usado será o princípio da indução finita: base, hipótese e passo indutivo.
Passo 2
Base da indução: para n=1 a soma tem n+1=2 termos, e vale 2+7=9. A fórmula dá
logo valida.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que a igualdade valha para um certo inteiro n≥1, isto é, que
Passo 4
Passo indutivo: queremos mostrar que a soma até n+1 satisfaz
Escrevemos a soma até n+1 como a soma até n mais o próximo termo:
Escrevemos a soma até n+1 como a soma até n mais o próximo termo:
Passo 5
Substituindo a hipótese de indução e simplificando:
Agrupando termos e colocando em forma de produto, obtemos
Passo 6
Por outro lado, a fórmula para n+1 é
Passo 7
Como a base e o passo indutivo estão provados, pela indução finita a igualdade vale para todo n≥1.
Resposta
Pela indução finita, concluímos que para todo n\in\mathbb{N}, n\ge1, vale