(2,5 pontos). Prove por indução finita que, para todo n in N, n >= 1, vale
2+7+12+ldots+(5 n+2)=5 n(n+1)2+2 n+2

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos provar por indução finita que para todo inteiro n≥1 a soma dos termos da progressão aritmética de primeiro termo 2, razão 5 e n+1 termos, isto é, 2+7+12+…+(5n+2), é dada pela fórmula 5n(n+1)2+2n+2 O conteúdo usado será o princípio da indução finita: base, hipótese e passo indutivo.

Passo 2

Base da indução: para n=1 a soma tem n+1=2 termos, e vale 2+7=9. A fórmula dá 5·1·22+2·1+2=5+2+2=9, logo valida.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que a igualdade valha para um certo inteiro n≥1, isto é, que
2+7+12+dots+(5n+2)=5n(n+1)2+2n+2

Passo 4

Passo indutivo: queremos mostrar que a soma até n+1 satisfaz
Escrevemos a soma até n+1 como a soma até n mais o próximo termo:
2+7+dots+(5n+2)+(5(n+1)+2)=l(2+7+dots+(5n+2)r)+(5(n+1)+2)

Passo 5

Substituindo a hipótese de indução e simplificando:
5n(n+1)2+2n+2+5(n+1)+2
Agrupando termos e colocando em forma de produto, obtemos
5n(n+1)2+7n+9=5n^2+5n+14n+182=5n^2+19n+182

Passo 6

Por outro lado, a fórmula para n+1 é
5(n+1)(n+2)2+2(n+1)+2=5(n^2+3n+2)2+2n+4=5n^2+15n+10+4n+82=5n^2+19n+182, que coincide com o que obtivemos. Portanto, se vale para n, vale para n+1.

Passo 7

Como a base e o passo indutivo estão provados, pela indução finita a igualdade vale para todo n≥1.

Resposta

Pela indução finita, concluímos que para todo n\in\mathbb{N}, n\ge1, vale
2+7+12+dots+(5n+2)=5n(n+1)2+2n+2

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