(Bônus 0,5 ponto) Construir o corpo ordenado dos números reais (
) através de sequências de Cauchy de números racionais.
Passo 1
O enunciado pede para construir o corpo ordenado dos números reais a partir de sequências de Cauchy de números racionais. O conteúdo envolve análise e álgebra: vamos usar a definição de sequência de Cauchy em $\mathbb{Q}$, estabelecer uma relação de equivalência, definir operações e ordem em classes de equivalência e provar que obtemos um corpo ordenado completo.
Passo 2
Definimos o conjunto $C$ de todas as sequências $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}} $ em $\mathbb{Q}$ que são de Cauchy, ou seja: para todo $\varepsilon>0$ existe $N$ tal que para todo $n,m\ge N$ valha
Passo 3
Em $C$ introduzimos a relação $\sim$:
o que significa que para todo $\varepsilon>0$ existe $N$ com $ |x_n - y_n| < \varepsilon $ sempre que $n\ge N$. Mostramos que $\sim$ é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é relação de equivalência.
Passo 4
Definimos
o conjunto de classes de equivalência. Para classes $[x_n]$ e $[y_n]$ em $\mathbb{R}$ definimos soma e produto termo a termo:
Mostramos que essas operações são bem definidas (não dependem do representante) e satisfazem todos os axiomas de corpo (associatividade, comutatividade, existência de neutro e inverso, distributividade etc.).
Passo 5
Para ordenar $\mathbb{R}$, dizemos
ou seja, eventualmente $x_n \le y_n$. Verificamos que essa ordem é bem definida, satisfaz reflexividade, antissimetria, transitividade e é compatível com soma e produto por elementos não negativos.
Passo 6
Finalmente, provamos completude: se $( [x_n^{(k)}] )_{k}$ é uma sequência de Cauchy em $\mathbb{R}$ (ou um conjunto não vazio limitado acima), podemos construir uma sequência diagonal ou usar resultados sobre completude de $\mathbb{Q}$ para obter uma sequência de Cauchy $ (z_m)$ em $\mathbb{Q}$ cujo limite em $\mathbb{R}$ é o supremo ou o limite da sequência original. Isso garante que todo conjunto não vazio limitado acima tem supremo.
Passo 7
Com tudo isso, concluímos que $\mathbb{R} = C/\sim$, munido das operações e da ordem definidas, é um corpo ordenado completo, ou seja, o corpo dos números reais.
Resposta
O corpo ordenado completo $(\mathbb{R},+,\cdot,\le)$ é construído como o conjunto de classes de equivalência $C/\sim$ de sequências de Cauchy em $\mathbb{Q}$, com soma e produto definidas termo a termo e ordem induzida pelo limite das diferenças. Esse sistema satisfaz todos os axiomas de corpo ordenado e a propriedade de completude.