(Bônus - 1 ponto)
Seja V=\{(x, y, z) \mid x, y, z \in \mathbb{R}\}.
Definimos a aplicação V \times V \rightarrow \mathbb{R} por
v_{1} \cdot v_{2}=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+x_{3} y_{3}
O produto definido acima é um produto interno? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\} (ou seja, \mathbb{R}^3) e define uma aplicação V\times V\to\mathbb{R} por
v_1\cdot v_2 = x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_3 y_3,
onde v_1=(x_1,y_1,z_1) e v_2=(x_2,y_2,z_2).
A pergunta é: essa aplicação é um produto interno em V? Devemos justificar a resposta.

Passo 2

Primeiro, lembrar (aqui vamos com calma) o que é um produto interno em um espaço vetorial real. Uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{R} é produto interno se, para todos u,v,w\in V e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem:
  1. Simetria: \langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle.
  2. Linearidade (bilinearidade) nas entradas: por exemplo, linearidade em cada argumento: \langle \alpha u+v,w\rangle = \alpha\langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle (e análogo na segunda coordenada).
  3. Positividade definida: \langle v,v\rangle \ge 0 para todo v, e \langle v,v\rangle = 0 se e somente se v=0.
Basta que uma dessas propriedades falhe para concluir que a aplicação não é um produto interno. Vou testar as propriedades mais fáceis de checar.

Passo 3

Testando a simetria. Calculemos explicitamente \;v_1\cdot v_2\; e \;v_2\cdot v_1\;:
v_1\cdot v_2 = x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_3 y_3,
v_2\cdot v_1 = x_2 y_1 - x_1 y_2 + x_3 y_3 = -(x_1 y_2 - x_2 y_1) + x_3 y_3.
Em geral essas expressões não são iguais porque o termo x_1 y_2 - x_2 y_1 muda de sinal quando trocamos os vetores. Para ver isso com um exemplo simples, escolha
v_1=(1,0,0),\qquad v_2=(0,1,0).
Então
v_1\cdot v_2 = 1\cdot1 - 0\cdot0 + 0\cdot0 = 1,
v_2\cdot v_1 = 0\cdot0 - 1\cdot1 + 0\cdot0 = -1.
Como 1\neq -1, a simetria falha. Portanto a aplicação não é simétrica e já não pode ser um produto interno.

Passo 4

Além da simetria, é pedagogicamente útil verificar a positividade definida (mostra outra falha clara). Calcule \;v\cdot v\; para um vetor genérico v=(x,y,z):
v\cdot v = x y - x y + z z = z^2.
Logo \;v\cdot v = z^2. Isso implica que qualquer vetor com z=0 (por exemplo v=(1,0,0)) satisfaz \;v\cdot v=0 mesmo sendo v\neq 0. Isso contradiz a condição de positividade definida ( \langle v,v\rangle = 0 deve acontecer somente quando v=0). Portanto a positividade definida também falha.

Passo 5

Resumo da lógica: a aplicação falha em duas propriedades fundamentais de um produto interno — a simetria e a positividade definida. Uma única falha já basta para descartar que seja produto interno; aqui temos duas falhas evidentes com exemplos concretos. Conclusão: não é produto interno.

Resposta

Não, não é um produto interno.

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