(Bônus - 1 ponto)
Seja
.
Definimos a aplicação
por
O produto definido acima é um produto interno? Justifique a sua resposta.
Definimos a aplicação
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
(ou seja,
) e define uma aplicação
por
onde
e
.
A pergunta é: essa aplicação é um produto interno em ? Devemos justificar a resposta.
A pergunta é: essa aplicação é um produto interno em
Passo 2
Primeiro, lembrar (aqui vamos com calma) o que é um produto interno em um espaço vetorial real. Uma aplicação
é produto interno se, para todos
e todo escalar
, valem:
- Simetria:
. - Linearidade (bilinearidade) nas entradas: por exemplo, linearidade em cada argumento:
(e análogo na segunda coordenada). - Positividade definida:
para todo , e se e somente se .
Basta que uma dessas propriedades falhe para concluir que a aplicação não é um produto interno. Vou testar as propriedades mais fáceis de checar.
Passo 3
Testando a simetria. Calculemos explicitamente
e
:
Em geral essas expressões não são iguais porque o termo
muda de sinal quando trocamos os vetores. Para ver isso com um exemplo simples, escolha
Então
Como
, a simetria falha. Portanto a aplicação não é simétrica e já não pode ser um produto interno.
Passo 4
Além da simetria, é pedagogicamente útil verificar a positividade definida (mostra outra falha clara). Calcule
para um vetor genérico
:
Logo
. Isso implica que qualquer vetor com
(por exemplo
) satisfaz
mesmo sendo
. Isso contradiz a condição de positividade definida (
deve acontecer somente quando
). Portanto a positividade definida também falha.
Passo 5
Resumo da lógica: a aplicação falha em duas propriedades fundamentais de um produto interno — a simetria e a positividade definida. Uma única falha já basta para descartar que seja produto interno; aqui temos duas falhas evidentes com exemplos concretos. Conclusão: não é produto interno.
Resposta
Não, não é um produto interno.