Questão
(4,0 pontos) No espaço vetorial
consideremos os seguintes subespaços
e
e
.
a) Determinar uma base e a dimensão dos subespaços
e
b)
? justifique.
a) Determinar uma base e a dimensão dos subespaços
b)
Passo 1
O enunciado nos dá dois subespaços de
e pede algumas coisas:
-
Dados:
-
. -
.
-
-
O que é pedido:
- (a) Determinar uma base e a dimensão de
, de , de e de . - (b) Responder se
e justificar.
- (a) Determinar uma base e a dimensão de
Passo 2
Encontrar uma base e a dimensão de
.
Explicação didática do que vou fazer:
é o conjunto de vetores que satisfazem duas equações lineares homogêneas. Para achar uma base é conveniente parametrizar as incógnitas livres e expressar um vetor genérico de
como combinação linear de vetores geradores.
Começo escrevendo as duas equações:
Escolho parâmetros para as variáveis livres. Por exemplo, deixe
e
com
. Das equações obtemos:
Portanto um vetor genérico de
é
Isto mostra que
é gerado pelos vetores
e
. Vou verificar que esses dois são linearmente independentes: nenhum é múltiplo do outro (eles têm suportes diferentes), logo são independentes.
Conclusão:
- Uma base de
é . -
.
Passo 3
Encontrar uma base e a dimensão de
.
Explicação didática do que vou fazer:
já está dado como gerado por dois vetores. Preciso checar se esses dois geradores são linearmente independentes; se sim, são uma base e a dimensão é 2; se não, um deles é combinação do outro e a dimensão é 1.
Sejam
Verifico se existe escalares
tais que
. Escrevo as coordenadas:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda obtemos
. Logo
. As demais equações são coerentes com isso. Como a única solução é
, os vetores são linearmente independentes.
Conclusão:
- Uma base de
é . -
.
Passo 4
Determinar
.
Estratégia didática:
são os vetores que pertencem simultaneamente a
e a
. Vou escrever um vetor genérico de
como combinação linear dos geradores e impor as duas equações que definem
. Se o único vetor for o vetor nulo, a interseção é
.
Um vetor genérico de
é
Calculo as coordenadas:
Imponho as condições de
:
Simplifico cada uma:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira dá
. Então
é a única solução, o que significa que o único vetor de
que também está em
é o vetor nulo.
Conclusão:
-
. -
.
Passo 5
Determinar
(base e dimensão).
Teorema útil explicado: para subespaços
e
vale a fórmula
Já tenho
,
e
. Logo
Como
, qualquer subespaço de dimensão
em
é o próprio
. Portanto
.
Sobre a base de
: já que
, a união de uma base de
com uma base de
é linearmente independente e tem
vetores, logo é uma base de
. Assim uma base possível de
é a união das bases encontradas:
Conclusão:
- Uma base de
é . -
e .
Passo 6
Responder se
.
Definição e verificação:
significa duas coisas simultâneas:
-
. -
.
Mostrei no Passo 5 que
e no Passo 4 que
. Portanto ambas as condições são satisfeitas.
Conclusão:
- Sim,
.
Resposta
(b) Sim.