4{ }^{\underline{a}} Questão

(4,0 pontos) No espaço vetorial \mathbb{R}^{4} consideremos os seguintes subespaços U=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y=0\right. e \left.z+w=0\right\} e V=[(-1,2,1,4),(1,2,-2,2)].
a) Determinar uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U+V e U \cap V
b) \mathbb{R}^{4}=U \oplus V ? justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá dois subespaços de \mathbb{R}^{4} e pede algumas coisas:
  • Dados:
    • U=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x-2y=0\\ \text{e}\\ z+w=0\}.
    • V=\operatorname{span}\{(-1,2,1,4),(1,2,-2,2)\}.
  • O que é pedido:
    • (a) Determinar uma base e a dimensão de U, de V, de U+V e de U\cap V.
    • (b) Responder se \mathbb{R}^{4}=U\oplus V e justificar.

Passo 2

Encontrar uma base e a dimensão de U.
Explicação didática do que vou fazer: U é o conjunto de vetores que satisfazem duas equações lineares homogêneas. Para achar uma base é conveniente parametrizar as incógnitas livres e expressar um vetor genérico de U como combinação linear de vetores geradores.
Começo escrevendo as duas equações:
x-2y=0,\qquad z+w=0.
Escolho parâmetros para as variáveis livres. Por exemplo, deixe y=t e z=s com t,s\in\mathbb{R}. Das equações obtemos:
x=2y=2t,\qquad w=-z=-s.
Portanto um vetor genérico de U é
( x,y,z,w )=(2t,t,s,-s)=t(2,1,0,0)+s(0,0,1,-1).
Isto mostra que U é gerado pelos vetores (2,1,0,0) e (0,0,1,-1). Vou verificar que esses dois são linearmente independentes: nenhum é múltiplo do outro (eles têm suportes diferentes), logo são independentes.
Conclusão:
  • Uma base de U é \{(2,1,0,0),(0,0,1,-1)\}.
  • \dim(U)=2.

Passo 3

Encontrar uma base e a dimensão de V.
Explicação didática do que vou fazer: V já está dado como gerado por dois vetores. Preciso checar se esses dois geradores são linearmente independentes; se sim, são uma base e a dimensão é 2; se não, um deles é combinação do outro e a dimensão é 1.
Sejam
v_1=(-1,2,1,4),\qquad v_2=(1,2,-2,2).
Verifico se existe escalares a,b tais que a v_1 + b v_2 = 0. Escrevo as coordenadas:
a(-1)+b(1)=0,
a(2)+b(2)=0,
a(1)+b(-2)=0,
a(4)+b(2)=0.
Da primeira equação vem -a+b=0\Rightarrow b=a. Substituindo na segunda obtemos 2a+2a=4a=0\Rightarrow a=0. Logo b=0. As demais equações são coerentes com isso. Como a única solução é a=b=0, os vetores são linearmente independentes.
Conclusão:
  • Uma base de V é \{(-1,2,1,4),(1,2,-2,2)\}.
  • \dim(V)=2.

Passo 4

Determinar U\cap V.
Estratégia didática: U\cap V são os vetores que pertencem simultaneamente a U e a V. Vou escrever um vetor genérico de V como combinação linear dos geradores e impor as duas equações que definem U. Se o único vetor for o vetor nulo, a interseção é \{0\}.
Um vetor genérico de V é
\alpha v_1+\beta v_2=\alpha(-1,2,1,4)+\beta(1,2,-2,2).
Calculo as coordenadas:
x=-\alpha+\beta,\qquad y=2\alpha+2\beta,\qquad z=\alpha-2\beta,\qquad w=4\alpha+2\beta.
Imponho as condições de U:
x-2y=0\quad\Rightarrow\quad (-\alpha+\beta)-2(2\alpha+2\beta)=0,
z+w=0\quad\Rightarrow\quad (\alpha-2\beta)+(4\alpha+2\beta)=0.
Simplifico cada uma:
(-\alpha+\beta)-4\alpha-4\beta = -5\alpha-3\beta=0,
\alpha-2\beta+4\alpha+2\beta=5\alpha=0.
Da segunda equação vem \alpha=0. Substituindo na primeira dá -3\beta=0\Rightarrow\beta=0. Então \alpha=\beta=0 é a única solução, o que significa que o único vetor de V que também está em U é o vetor nulo.
Conclusão:
  • U\cap V=\{0\}.
  • \dim(U\cap V)=0.

Passo 5

Determinar U+V (base e dimensão).
Teorema útil explicado: para subespaços U e V vale a fórmula
\dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U\cap V).
Já tenho \dim(U)=2, \dim(V)=2 e \dim(U\cap V)=0. Logo
\dim(U+V)=2+2-0=4.
Como \dim(\mathbb{R}^4)=4, qualquer subespaço de dimensão 4 em \mathbb{R}^4 é o próprio \mathbb{R}^4. Portanto U+V=\mathbb{R}^4.
Sobre a base de U+V: já que U\cap V=\{0\}, a união de uma base de U com uma base de V é linearmente independente e tem 2+2=4 vetores, logo é uma base de U+V. Assim uma base possível de U+V é a união das bases encontradas:
\{(2,1,0,0),(0,0,1,-1),(-1,2,1,4),(1,2,-2,2)\}.
Conclusão:
  • Uma base de U+V é \{(2,1,0,0),(0,0,1,-1),(-1,2,1,4),(1,2,-2,2)\}.
  • \dim(U+V)=4 e U+V=\mathbb{R}^{4}.

Passo 6

Responder se \mathbb{R}^{4}=U\oplus V.
Definição e verificação: U\oplus V=\mathbb{R}^{4} significa duas coisas simultâneas:
  1. U+V=\mathbb{R}^{4}.
  2. U\cap V=\{0\}.
Mostrei no Passo 5 que U+V=\mathbb{R}^{4} e no Passo 4 que U\cap V=\{0\}. Portanto ambas as condições são satisfeitas.
Conclusão:
  • Sim, \mathbb{R}^{4}=U\oplus V.

Resposta

U:\\ \text{base } \{(2,1,0,0),(0,0,1,-1)\},\\ \dim(U)=2
V:\\ \text{base } \{(-1,2,1,4),(1,2,-2,2)\},\\ \dim(V)=2
U+V:\\ \text{base } \{(2,1,0,0),(0,0,1,-1),(-1,2,1,4),(1,2,-2,2)\},\\ \dim(U+V)=4
U\cap V=\{0\},\\ \dim(U\cap V)=0
(b) Sim.

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