2{ }^{\text {a }} Questão

(2,0 pontos) O subconjunto W=[0,1] é um subespaço vetorial do espaço vetorial \mathbb{R} ? Se sim, prove as propriedades. Se não, qual(is) propriedade(s) não é(são) válida(s)? Dê um contraexemplo para mostrar a(s) falha(s) da(s) propriedade(s).

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto W=[0,1] do espaço vetorial \mathbb{R} (com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar). A pergunta principal é: W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}?
Se for: provar as propriedades necessárias.
Se não for: indicar qual(is) propriedade(s) falha(m) e fornecer contraexemplos que mostrem a(s) falha(s).
Informações relevantes fornecidas:
  • W=[0,1]=\{x\in\mathbb{R}\mid 0\le x\le 1\}.
  • O espaço ambiente é \mathbb{R} (campo dos escalares também \mathbb{R}).
  • Operações consideradas: soma usual de números reais e multiplicação usual por escalar.

Passo 2

Vou lembrar com calma e explicar o que significa ser subespaço vetorial (para usar na prova):
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se as três condições abaixo são satisfeitas:
  1. W não é vazio (equivalente a verificar que 0\in W).
  2. Fechamento em relação à soma: para todos u,v\in W vale u+v\in W.
  3. Fechamento em relação à multiplicação por escalar: para todo escalar c\in\mathbb{R} e todo u\in W vale c\cdot u\in W.
Explicando cada item de modo bem direto:
  • A presença do vetor nulo: como o espaço vetorial tem 0 e um subespaço precisa ser subgrupo aditivo, ele deve conter o 0. Então sempre verifique 0\in W.
  • Fechamento pela soma: pegue quaisquer dois vetores em W; se ao somá-los o resultado sair de W, já era, não é subespaço.
  • Fechamento por escalares: pegue qualquer vetor em W e multiplique por um escalar qualquer; se o resultado sair de W, também não é subespaço.
Na prática, para conjuntos em \mathbb{R} (números reais) é muito rápido testar: ver se 0\in W, depois testar com um exemplo simples de soma ou de multiplicação por escalar (por exemplo multiplicar por 2 ou por -1) para tentar quebrar a propriedade.

Passo 3

Verificação do primeiro requisito: 0\in W.
De fato, por definição de intervalo fechado,
0\in[0,1],
pois 0 satisfaz 0\le 0\le 1. Logo a condição de não vazio / conter o vetor nulo está satisfeita.

Passo 4

Teste de fechamento em relação à soma (procuro um contraexemplo simples).
Escolho u=0,6 e v=0,6. Note que ambos estão em W porque 0\le 0,6\le 1. Agora calcule a soma:
u+v=0,6+0,6=1,2.
Mas 1,2\notin[0,1] porque 1,2>1. Portanto existem u,v\in W tais que u+v\notin W. Conclusão: W não é fechado sob adição.

Passo 5

Teste de fechamento em relação à multiplicação por escalar (buscando outro contraexemplo óbvio).
Escolho u=1\in W e o escalar c=2\in\mathbb{R}. Então
c\cdot u = 2\cdot 1 = 2.
Como 2\notin[0,1], encontramos c\in\mathbb{R} e u\in W com c\cdot u\notin W. Logo W não é fechado sob multiplicação por escalares. (Observação extra: já basta escolher c=-1 para ver outra falha: (-1)\cdot 1 = -1\notin[0,1].)

Passo 6

Conclusão lógica a partir dos passos anteriores:
  • Embora 0\in W, o conjunto W=[0,1] falha em pelo menos duas propriedades necessárias para ser subespaço: fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.
  • Portanto W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}.
Dica prática para a prova (um truque que ajuda quando o conjunto é intervalo compacto como este): em \mathbb{R} os únicos subespaços vetoriais são \{0\} e \mathbb{R}. Como W não é nem \{0\} nem \mathbb{R}, já dá para concluir rapidamente que não é subespaço — mas sempre justifique mostrando uma falha concreta (como fiz nos passos 4 e 5).

Resposta

Não. W=[0,1] não é subespaço vetorial de \mathbb{R}.
Falham: fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.
Contraexemplos: 0,6\in W e 0,6+0,6=1,2\notin W; 1\in W e 2\cdot 1=2\notin W.

Exercícios relacionados