Questão
(2,0 pontos) O subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
? Se sim, prove as propriedades. Se não, qual(is) propriedade(s) não é(são) válida(s)? Dê um contraexemplo para mostrar a(s) falha(s) da(s) propriedade(s).
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
do espaço vetorial
(com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar). A pergunta principal é:
é um subespaço vetorial de
?
Se for: provar as propriedades necessárias.
Se não for: indicar qual(is) propriedade(s) falha(m) e fornecer contraexemplos que mostrem a(s) falha(s).
Se for: provar as propriedades necessárias.
Se não for: indicar qual(is) propriedade(s) falha(m) e fornecer contraexemplos que mostrem a(s) falha(s).
Informações relevantes fornecidas:
-
. - O espaço ambiente é
(campo dos escalares também ). - Operações consideradas: soma usual de números reais e multiplicação usual por escalar.
Passo 2
Vou lembrar com calma e explicar o que significa ser subespaço vetorial (para usar na prova):
Um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se e somente se as três condições abaixo são satisfeitas:
Um subconjunto
-
não é vazio (equivalente a verificar que ). - Fechamento em relação à soma: para todos
vale . - Fechamento em relação à multiplicação por escalar: para todo escalar
e todo vale .
Explicando cada item de modo bem direto:
- A presença do vetor nulo: como o espaço vetorial tem
e um subespaço precisa ser subgrupo aditivo, ele deve conter o . Então sempre verifique . - Fechamento pela soma: pegue quaisquer dois vetores em
; se ao somá-los o resultado sair de , já era, não é subespaço. - Fechamento por escalares: pegue qualquer vetor em
e multiplique por um escalar qualquer; se o resultado sair de , também não é subespaço.
Na prática, para conjuntos em
(números reais) é muito rápido testar: ver se
, depois testar com um exemplo simples de soma ou de multiplicação por escalar (por exemplo multiplicar por
ou por
) para tentar quebrar a propriedade.
Passo 3
Verificação do primeiro requisito:
.
De fato, por definição de intervalo fechado,
De fato, por definição de intervalo fechado,
pois
satisfaz
. Logo a condição de não vazio / conter o vetor nulo está satisfeita.
Passo 4
Teste de fechamento em relação à soma (procuro um contraexemplo simples).
Escolho e
. Note que ambos estão em
porque
. Agora calcule a soma:
Escolho
Mas
porque
. Portanto existem
tais que
. Conclusão:
não é fechado sob adição.
Passo 5
Teste de fechamento em relação à multiplicação por escalar (buscando outro contraexemplo óbvio).
Escolho e o escalar
. Então
Escolho
Como
, encontramos
e
com
. Logo
não é fechado sob multiplicação por escalares. (Observação extra: já basta escolher
para ver outra falha:
.)
Passo 6
Conclusão lógica a partir dos passos anteriores:
- Embora
, o conjunto falha em pelo menos duas propriedades necessárias para ser subespaço: fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar. - Portanto
não é subespaço vetorial de .
Dica prática para a prova (um truque que ajuda quando o conjunto é intervalo compacto como este): em
os únicos subespaços vetoriais são
e
. Como
não é nem
nem
, já dá para concluir rapidamente que não é subespaço — mas sempre justifique mostrando uma falha concreta (como fiz nos passos 4 e 5).
Resposta
Não.
não é subespaço vetorial de
.
Falham: fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.
Contraexemplos: e
;
e
.
Falham: fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.
Contraexemplos: