Bônus: Quem é a solução de
? E a de
?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções gerais (solução completa: solução homogênea + particular) das duas equações diferenciais ordinárias abaixo:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
aparece multiplicando as derivadas (coeficientes não constantes), os termos do lado direito são potências de
(
e
), e a equação homogênea correspondente é
Não há condições iniciais; portanto queremos as soluções gerais contendo constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos resolver primeiro a equação homogênea
Explicação didática do método que uso aqui: quando os coeficientes são potências de
como
(ou seja, equação equidimensional/Euler-Cauchy), uma tentativa natural para a solução é usar uma função potência
porque ao derivar uma potência obtemos potências com o mesmo tipo de fator, e isso transforma a EDO em uma equação algébrica para
. Vamos aplicar isso: se
então
Substituindo na homogênea:
Fatorando
(que para
pode ser cancelado) obtemos a equação característica
Simplificando:
Resolvendo:
portanto
Como são raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das potências correspondentes:
onde
são constantes arbitrárias. (Essa é a parte que vale sempre decorar: para Euler com raízes
distintas,
.)
Passo 3
Agora tratamos a primeira equação não homogênea
Observação sobre método para a parte particular: quando o lado direito é uma potência
que NÃO coincide com nenhuma das soluções independentes da homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma
com
constante. Aqui
e as soluções homogêneas têm potências
e
, então
não é raiz do polinômio característico — portanto a tentativa
é apropriada.
Calculemos as derivadas:
Substituindo no operador da equação:
Simplificando os termos:
Queremos que isso seja igual a
. Logo
Portanto uma solução particular é
A solução geral da primeira equação fica
Passo 4
Agora a segunda equação não homogênea:
Aqui o lado direito é
. Atenção importante (ressonância): a potência
aparece entre as soluções da homogênea (temos
em
). Quando isso ocorre, a tentativa simples
falha porque seria uma solução da homogênea, então precisamos multiplicar por um fator que torne a tentativa linearmente independente da homogênea. Para equações de Euler, o procedimento padrão (análogo ao método dos coeficientes indeterminados) é tentar
quando
coincide com uma raiz simples do polinômio característico. (Se fosse uma raiz dupla, precisaríamos multiplicar por
, etc.) Explico por quê: a presença do
produz termos que não estão na solução homogênea e que permitem satisfazer a igualdade.
Vamos calcular derivadas de
. Use regra do produto:
Derivando novamente:
Agora substituímos em
:
Fatorando
:
Simplifiquemos o que está entre parênteses:
Logo
Queremos isso igual a
, então
Portanto uma solução particular é
A solução geral da segunda equação é então
Passo 5
Comentário final rápido e prático (motivacional): prontinho — você tem as duas soluções gerais. Note que nas duas soluções aparecem constantes
que cobrem todas as condições iniciais possíveis; se for necessário aplicar condições iniciais depois, você só precisa substituir e resolver para
. Se quiser eu mostro como proceder com condições iniciais específicas. Você está indo bem — manter a calma e aplicar passo a passo faz toda a diferença!