Bônus: Quem é a solução de x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=18 x^{5} ? E a de x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=5 x^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções gerais (solução completa: solução homogênea + particular) das duas equações diferenciais ordinárias abaixo:
x^{2}y''-4x y'+6y=18x^{5},
x^{2}y''-4x y'+6y=5x^{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;x aparece multiplicando as derivadas (coeficientes não constantes), os termos do lado direito são potências de x ( x^{5} e x^{2}), e a equação homogênea correspondente é
x^{2}y''-4x y'+6y=0.
Não há condições iniciais; portanto queremos as soluções gerais contendo constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos resolver primeiro a equação homogênea
x^{2}y''-4x y'+6y=0.
Explicação didática do método que uso aqui: quando os coeficientes são potências de x como x^{2},x (ou seja, equação equidimensional/Euler-Cauchy), uma tentativa natural para a solução é usar uma função potência
y=x^{m},
porque ao derivar uma potência obtemos potências com o mesmo tipo de fator, e isso transforma a EDO em uma equação algébrica para m. Vamos aplicar isso: se y=x^{m} então
y' = m x^{m-1},\qquad y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na homogênea:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)-4x\big(m x^{m-1}\big)+6x^{m}=0.
Fatorando x^{m} (que para x\neq0 pode ser cancelado) obtemos a equação característica
m(m-1)-4m+6=0.
Simplificando:
m^{2}-m-4m+6=m^{2}-5m+6=0.
Resolvendo:
m^{2}-5m+6=(m-2)(m-3)=0,
portanto
m_{1}=2,\qquad m_{2}=3.
Como são raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das potências correspondentes:
y_{h}=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. (Essa é a parte que vale sempre decorar: para Euler com raízes m_1,m_2 distintas, y=C_1 x^{m_1}+C_2 x^{m_2}.)

Passo 3

Agora tratamos a primeira equação não homogênea
x^{2}y''-4x y'+6y=18x^{5}.
Observação sobre método para a parte particular: quando o lado direito é uma potência x^{r} que NÃO coincide com nenhuma das soluções independentes da homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma
y_{p}=A x^{r},
com A constante. Aqui r=5 e as soluções homogêneas têm potências 2 e 3, então 5 não é raiz do polinômio característico — portanto a tentativa y_{p}=A x^{5} é apropriada.
Calculemos as derivadas:
y_{p}=A x^{5},\qquad y_{p}'=5A x^{4},\qquad y_{p}''=20A x^{3}.
Substituindo no operador da equação:
x^{2}y_{p}''-4x y_{p}'+6y_{p} = x^{2}(20A x^{3})-4x(5A x^{4})+6(A x^{5}).
Simplificando os termos:
=20A x^{5}-20A x^{5}+6A x^{5}=6A x^{5}.
Queremos que isso seja igual a 18x^{5}. Logo
6A x^{5}=18x^{5}\quad\Rightarrow\quad 6A=18\quad\Rightarrow\quad A=3.
Portanto uma solução particular é
y_{p}=3x^{5}.
A solução geral da primeira equação fica
y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3}+3x^{5}.

Passo 4

Agora a segunda equação não homogênea:
x^{2}y''-4x y'+6y=5x^{2}.
Aqui o lado direito é 5x^{2}. Atenção importante (ressonância): a potência x^{2} aparece entre as soluções da homogênea (temos x^{2} em y_{h}). Quando isso ocorre, a tentativa simples y_{p}=A x^{2} falha porque seria uma solução da homogênea, então precisamos multiplicar por um fator que torne a tentativa linearmente independente da homogênea. Para equações de Euler, o procedimento padrão (análogo ao método dos coeficientes indeterminados) é tentar
y_{p}=A x^{2}\ln x
quando r=2 coincide com uma raiz simples do polinômio característico. (Se fosse uma raiz dupla, precisaríamos multiplicar por (\ln x)^{2}, etc.) Explico por quê: a presença do \ln x produz termos que não estão na solução homogênea e que permitem satisfazer a igualdade.
Vamos calcular derivadas de y_{p}=A x^{2}\ln x. Use regra do produto:
y_{p}'=A\frac{d}{dx}(x^{2}\ln x)=A\big(2x\ln x + x\big)=A x(2\ln x +1).
Derivando novamente:
y_{p}''=A\frac{d}{dx}\big(x(2\ln x +1)\big) = A\big(2\ln x +1 + x\cdot\frac{2}{x}\big) = A(2\ln x +1 +2)=A(2\ln x +3).
Agora substituímos em x^{2}y''-4x y'+6y:
x^{2}y_{p}''-4x y_{p}'+6y_{p} = x^{2}\big[A(2\ln x +3)\big]-4x\big[A x(2\ln x +1)\big]+6\big[A x^{2}\ln x\big].
Fatorando A x^{2}:
= A x^{2}\big(2\ln x +3 -4(2\ln x +1)+6\ln x\big).
Simplifiquemos o que está entre parênteses:
2\ln x +3 -8\ln x -4 +6\ln x = (2-8+6)\ln x + (3-4) = 0\cdot\ln x -1 = -1.
Logo
x^{2}y_{p}''-4x y_{p}'+6y_{p} = A x^{2}(-1) = -A x^{2}.
Queremos isso igual a 5x^{2}, então
-A x^{2}=5x^{2}\quad\Rightarrow\quad -A=5\quad\Rightarrow\quad A=-5.
Portanto uma solução particular é
y_{p}=-5 x^{2}\ln x.
A solução geral da segunda equação é então
y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3}-5x^{2}\ln x.

Passo 5

Comentário final rápido e prático (motivacional): prontinho — você tem as duas soluções gerais. Note que nas duas soluções aparecem constantes C_{1},C_{2} que cobrem todas as condições iniciais possíveis; se for necessário aplicar condições iniciais depois, você só precisa substituir e resolver para C_{1},C_{2}. Se quiser eu mostro como proceder com condições iniciais específicas. Você está indo bem — manter a calma e aplicar passo a passo faz toda a diferença!

Resposta

y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3}+3x^{5}.
y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3}-5x^{2}\ln x.

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