Calcule o Wronskiano das funções f(x) e g(x). f(x)=e^{2 x} e g(x)=x \cos (3 x)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o Wronskiano das duas funções dadas. Informações fornecidas:
f(x)=e^{2x}.
g(x)=x\cos(3x).
A tarefa é determinar W(f,g)(x), o Wronskiano dessas duas funções, em qualquer x.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar: o Wronskiano de duas funções f e g é o determinante da matriz formada por elas e por suas derivadas primeiras. Em fórmulas:
Explicação didática: isso é só um determinante 2\times2. Para calcular, multiplicamos em cruz e subtraímos: primeiro f\cdot g' menos f'\cdot g.]
Passo 3
Derivada de f(x)=e^{2x}. Vou explicar a regra que usamos: regra da cadeia para exponenciais. Se h(x)=e^{u(x)}, então h'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui u(x)=2x e u'(x)=2. Portanto,
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.
Detalhe: escreva mentalmente que a derivada “puxa” o expoente multiplicando por 2.
Passo 4
Derivada de g(x)=x\cos(3x). Aqui usamos a regra do produto: se g(x)=u(x)v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Tomamos u(x)=x e v(x)=\cos(3x).
u'(x)=1.
Para v'(x) usamos regra da cadeia: derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Aqui u=3x e u'=3. Então v'(x)=-\sin(3x)\cdot 3=-3\sin(3x).
Aplicando a regra do produto:
Resumo final: obtivemos o Wronskiano explicitamente e ele é uma função bem definida para todo x. Se precisar, dá para usar essa expressão para analisar se f e g são linearmente independentes (basta ver se o Wronskiano é identicamente zero ou não), mas isso é só uma observação extra.