Calcule o Wronskiano das funções f(x) e g(x).
f(x)=e^{2 x} e g(x)=x \cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano das duas funções dadas. Informações fornecidas:
  • f(x)=e^{2x}.
  • g(x)=x\cos(3x).
    A tarefa é determinar W(f,g)(x), o Wronskiano dessas duas funções, em qualquer x.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar: o Wronskiano de duas funções f e g é o determinante da matriz formada por elas e por suas derivadas primeiras. Em fórmulas:
W(f,g)(x)= \begin{vmatrix} f(x) & g(x)\\[4pt] f'(x) & g'(x) \end{vmatrix} = f(x)\,g'(x)-f'(x)\,g(x).
Explicação didática: isso é só um determinante 2\times2. Para calcular, multiplicamos em cruz e subtraímos: primeiro f\cdot g' menos f'\cdot g.]

Passo 3

Derivada de f(x)=e^{2x}. Vou explicar a regra que usamos: regra da cadeia para exponenciais. Se h(x)=e^{u(x)}, então h'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui u(x)=2x e u'(x)=2. Portanto,
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.
Detalhe: escreva mentalmente que a derivada “puxa” o expoente multiplicando por 2.

Passo 4

Derivada de g(x)=x\cos(3x). Aqui usamos a regra do produto: se g(x)=u(x)v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Tomamos u(x)=x e v(x)=\cos(3x).
  • u'(x)=1.
  • Para v'(x) usamos regra da cadeia: derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Aqui u=3x e u'=3. Então v'(x)=-\sin(3x)\cdot 3=-3\sin(3x).
    Aplicando a regra do produto:
g'(x)=1\cdot\cos(3x)+x\cdot(-3\sin(3x))=\cos(3x)-3x\sin(3x).
Vou repetir mentalmente: primeiro vem a derivada de x vezes \cos(3x), que é \cos(3x), depois x vezes a derivada de \cos(3x), que dá -3x\sin(3x).

Passo 5

Agora substituímos f,f',g,g' na fórmula do Wronskiano:
W(f,g)(x)=f(x)\,g'(x)-f'(x)\,g(x).
Substituindo os resultados:
W(f,g)(x)=e^{2x}\big(\cos(3x)-3x\sin(3x)\big)-\big(2e^{2x}\big)\big(x\cos(3x)\big).

Passo 6

Vamos simplificar passo a passo, fatorando e^{2x} que aparece em todos os termos:
Primeiro escrevendo os termos separados,
W(f,g)(x)=e^{2x}\cos(3x)-3x e^{2x}\sin(3x)-2x e^{2x}\cos(3x).
Agora agrupamos os termos com \cos(3x):
W(f,g)(x)=e^{2x}\cos(3x)-2x e^{2x}\cos(3x)-3x e^{2x}\sin(3x).
Colocando e^{2x} em evidência:
W(f,g)(x)=e^{2x}\big(\cos(3x)-2x\cos(3x)-3x\sin(3x)\big).
Fatorando ainda \cos(3x) nos termos correspondentes:
W(f,g)(x)=e^{2x}\big((1-2x)\cos(3x)-3x\sin(3x)\big).
Pronto — expressão simplificada e bonita.

Passo 7

Resumo final: obtivemos o Wronskiano explicitamente e ele é uma função bem definida para todo x. Se precisar, dá para usar essa expressão para analisar se f e g são linearmente independentes (basta ver se o Wronskiano é identicamente zero ou não), mas isso é só uma observação extra.

Resposta

W(f,g)(x)=e^{2x}\big((1-2x)\cos(3x)-3x\sin(3x)\big)

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