Verifique que y_{1}(x) é uma solução particular e faça a mudança y(x)=c(x) y_{1}(x) para reduzir (e resolver, se possível) a ordem das seguintes equações:
y^{\prime \prime}+\frac{2}{x} y^{\prime}+y=0, y_{1}(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) verificar que y_{1}(x)=\dfrac{\sin x}{x} é uma solução particular da equação
y''+\frac{2}{x}y'+y=0,
e (2) fazer a mudança y(x)=c(x)\,y_{1}(x) para reduzir a ordem da equação e, se possível, resolver a equação completamente.
Informações dadas: a equação diferencial homogênea de segunda ordem e uma solução conhecida y_{1}(x)=\dfrac{\sin x}{x}. A partir disso devemos encontrar a solução geral.

Passo 2

Vamos verificar que y_{1}(x)=\dfrac{\sin x}{x} satisfaz a equação. Primeiro calculamos as derivadas usando a regra do produto/quotient de forma detalhada.
Escrevo y_{1}(x)=x^{-1}\sin x. Então
y_{1}'(x) = \frac{d}{dx}\big(x^{-1}\sin x\big) = -x^{-2}\sin x + x^{-1}\cos x.
Explico rápido: usei \frac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2} e \frac{d}{dx}\sin x=\cos x, e apliquei a regra do produto.
Agora derivamos novamente:
y_{1}''(x)=\frac{d}{dx}\big(-x^{-2}\sin x + x^{-1}\cos x\big).
Derivando termo a termo (novamente produto):
\begin{aligned} \frac{d}{dx}\big(-x^{-2}\sin x\big) &= 2x^{-3}\sin x - x^{-2}\cos x,\\[4pt] \frac{d}{dx}\big(x^{-1}\cos x\big) &= -x^{-2}\cos x - x^{-1}\sin x. \end{aligned}
Somando:
y_{1}''(x)=2x^{-3}\sin x -2x^{-2}\cos x - x^{-1}\sin x.]

Passo 3

Agora substituímos y_{1}, y_{1}' e y_{1}'' na equação y''+\dfrac{2}{x}y'+y e verificamos que dá zero.
Calculemos \dfrac{2}{x}y_{1}':
\frac{2}{x}y_{1}'(x)=\frac{2}{x}\big(-x^{-2}\sin x + x^{-1}\cos x\big) = -2x^{-3}\sin x + 2x^{-2}\cos x.
Somando todos os termos:
\begin{aligned} y_{1}''+\frac{2}{x}y_{1}'+y_{1} &= \big(2x^{-3}\sin x -2x^{-2}\cos x - x^{-1}\sin x\big)\\\ &\quad +\big(-2x^{-3}\sin x + 2x^{-2}\cos x\big) + x^{-1}\sin x. \end{aligned}
Agora vamos cancelar termo a termo: 2x^{-3}\sin x cancela com -2x^{-3}\sin x; -2x^{-2}\cos x cancela com 2x^{-2}\cos x; e -x^{-1}\sin x cancela com x^{-1}\sin x. Resta 0. Portanto y_{1} é de fato uma solução da equação.

Passo 4

Agora fazemos a mudança de ordem: suponha
y(x)=c(x)\,y_{1}(x),
com c função que queremos achar. Calculamos derivadas (produto):
y' = c' y_{1} + c y_{1}',\qquad y'' = c'' y_{1} + 2c' y_{1}' + c y_{1}''.

Passo 5

Substituímos y,y',y'' na equação original:
c'' y_{1} + 2c' y_{1}' + c y_{1}'' + \frac{2}{x}\big(c' y_{1} + c y_{1}'\big) + c y_{1}=0.
Agrupando termos conforme fatores c'',c' e c:
c'' y_{1} + c'\big(2y_{1}' + \tfrac{2}{x}y_{1}\big) + c\big(y_{1}''+\tfrac{2}{x}y_{1}'+y_{1}\big)=0.
Mas já verificamos que y_{1} satisfaz \;y_{1}''+\tfrac{2}{x}y_{1}'+y_{1}=0, logo o termo multiplicado por c é zero. Assim sobra
c'' y_{1} + c'\big(2y_{1}' + \tfrac{2}{x}y_{1}\big)=0.
Explicação: essa é a razão pela qual a redução de ordem funciona — conhecer uma solução elimina o termo em c e deixa uma equação de ordem menor para c.

Passo 6

Definimos w(x)=c'(x). Então w'=c'' e a equação fica
w' y_{1} + w\big(2y_{1}' + \tfrac{2}{x}y_{1}\big)=0.
Se y_{1}(x)\neq 0 (exceto em pontos singulares), dividimos por w y_{1} (assumindo w\neq0 localmente) para obter uma equação separável para w:
\frac{w'}{w} = -\frac{2y_{1}'+\tfrac{2}{x}y_{1}}{y_{1}} = -2\left(\frac{y_{1}'}{y_{1}}+\frac{1}{x}\right).
Agora integramos ambos os lados:
\ln|w| = -2\ln|y_{1}| -2\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Isso se tornou possível porque o lado direito é uma soma de derivadas logarítmicas.
Exponentiando:
w(x) = c'(x) = K\cdot\frac{1}{x^{2}y_{1}^{2}(x)},
onde K=e^{C} é uma constante.

Passo 7

Usamos explicitamente y_{1}(x)=\dfrac{\sin x}{x}. Calculamos
x^{2}y_{1}^{2}(x)=x^{2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}=\sin^{2}x.
Portanto
c'(x)=\frac{K}{\sin^{2}x}=K\,\csc^{2}x.
Integramos c':
c(x)=K\int \csc^{2}x\,dx + L = -K\cot x + L,
onde L é outra constante de integração (usei \int \csc^{2}x\,dx=-\cot x).

Passo 8

Voltando à y=c\,y_{1}:
y(x)=\big(-K\cot x + L\big)\cdot\frac{\sin x}{x}.
Simplificamos a expressão observando \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, então
-K\cot x\cdot\frac{\sin x}{x} = -K\frac{\cos x}{x}.
E L\cdot\dfrac{\sin x}{x}=L\,\dfrac{\sin x}{x}. Assim a solução geral fica
y(x)=L\frac{\sin x}{x}-K\frac{\cos x}{x}.
Renomeando constantes arbitrárias C_{1}=L e C_{2}=-K (ou qualquer outro par de constantes), obtemos a forma mais usual da solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1}\dfrac{\sin x}{x}+C_{2}\dfrac{\cos x}{x}

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