Verifique que
é uma solução particular e faça a mudança
para reduzir (e resolver, se possível) a ordem das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) verificar que
é uma solução particular da equação
e (2) fazer a mudança
para reduzir a ordem da equação e, se possível, resolver a equação completamente.
Informações dadas: a equação diferencial homogênea de segunda ordem e uma solução conhecida . A partir disso devemos encontrar a solução geral.
Informações dadas: a equação diferencial homogênea de segunda ordem e uma solução conhecida
Passo 2
Vamos verificar que
satisfaz a equação. Primeiro calculamos as derivadas usando a regra do produto/quotient de forma detalhada.
Escrevo
. Então
Explico rápido: usei
e
, e apliquei a regra do produto.
Agora derivamos novamente:
Derivando termo a termo (novamente produto):
Somando:
Passo 3
Agora substituímos
,
e
na equação
e verificamos que dá zero.
Calculemos
:
Somando todos os termos:
Agora vamos cancelar termo a termo:
cancela com
;
cancela com
; e
cancela com
. Resta
. Portanto
é de fato uma solução da equação.
Passo 4
Agora fazemos a mudança de ordem: suponha
com
função que queremos achar. Calculamos derivadas (produto):
Passo 5
Substituímos
na equação original:
Agrupando termos conforme fatores
e
:
Mas já verificamos que
satisfaz
, logo o termo multiplicado por
é zero. Assim sobra
Explicação: essa é a razão pela qual a redução de ordem funciona — conhecer uma solução elimina o termo em
e deixa uma equação de ordem menor para
.
Passo 6
Definimos
. Então
e a equação fica
Se
(exceto em pontos singulares), dividimos por
(assumindo
localmente) para obter uma equação separável para
:
Agora integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Isso se tornou possível porque o lado direito é uma soma de derivadas logarítmicas.
Exponentiando:
onde
é uma constante.
Passo 7
Usamos explicitamente
. Calculamos
Portanto
Integramos
:
onde
é outra constante de integração (usei
).
Passo 8
Voltando à
:
Simplificamos a expressão observando
, então
E
. Assim a solução geral fica
Renomeando constantes arbitrárias
e
(ou qualquer outro par de constantes), obtemos a forma mais usual da solução geral.