Um bote circular de
de diâmetro flutua em água de índice de refração
. O céu esta nublado, de modo que a luz chega uniforme de todas as direções. Que volume de água abaixo do bote deixa de receber qualquer luz direta do céu? Considere o índice de refração do ar igual a 1.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um bote circular com diâmetro de 3 metros flutuando na água, cujo índice de refração é 1,33. O céu está nublado, então a luz vem de todas as direções. Queremos descobrir qual é o volume de água abaixo do bote que não recebe nenhuma luz direta do céu. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de refração da luz e geometria para determinar a região sombreada pela presença do bote.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o índice de refração. O índice de refração indica como a luz se propaga através de um meio. Aqui, temos água com índice de refração $ n_{água} = 1,33 $ e ar com índice $ n_{ar} = 1 $. A mudança de meio faz com que a luz se desvie, e isso é descrito pela Lei de Snell.
Passo 3
A Lei de Snell é dada por:
Onde $ \theta_{ar} $ é o ângulo de incidência e $ \theta_{água} $ é o ângulo de refração. Queremos encontrar o ângulo crítico, além do qual a luz não consegue passar da água para o ar, resultando em reflexão total interna.
Passo 4
O ângulo crítico $ \theta_c $ ocorre quando o ângulo de refração é 90°, ou seja, a luz se propaga ao longo da interface. Usando a Lei de Snell:
Como $ \sin(90°) = 1 $, temos:
Então,
Passo 5
Com o ângulo crítico determinado, podemos visualizar que a luz que vem de direções superiores a $ \theta_c $ será refletida de volta na água, criando uma “zona de sombra” direta sob o bote. Para encontrar o volume dessa zona, precisamos calcular o cone de sombra formado por esse ângulo.
Passo 6
O bote tem um diâmetro de 3 metros, então o raio $ r $ é de 1,5 metros. A base desse cone de sombra na água terá um raio maior devido ao ângulo crítico. Usando trigonometria:
Passo 7
Agora, para encontrar o volume da água que está na sombra, consideramos a altura do cone. No entanto, como a água é infinita, precisamos limitar a altura do cone. Mas o exercício não especifica uma profundidade, então assumiremos que queremos a área da superfície afetada diretamente abaixo do bote.
Passo 8
A área $ A $ da superfície em sombra é:
Se considerarmos uma profundidade $ h $, o volume $ V $ seria:
Mas sem a profundidade, a resposta fica na área da superfície.
Resposta
O volume de água abaixo do bote que deixa de receber luz direta do céu é aproximadamente $ 9,09 m^2 $ vezes a profundidade considerada.