Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a classifiquemos segundo quatro aspectos:
- Ordem da equação.
- Se é EDO ou EDP.
- Se é linear ou não-linear.
- Se é homogênea ou não-homogênea (ou, caso não se aplique, indicar isso).
As informações relevantes fornecidas são apenas a própria equação escrita acima — não há outras condições ou funções adicionais.
Passo 2
Definição de ordem e aplicação: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece na equação. Aqui aparece apenas
, que é a primeira derivada de
em relação a
. Não há
nem derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é
Explicando de um jeito prático: se tivesse
a ordem seria 2; como só tem
, é ordem 1.
Passo 3
EDO versus EDP e aplicação: uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas em relação a uma única variável independente (aqui
) e a função incógnita depende dessa única variável (aqui
). Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais e funções de várias variáveis independentes. Na nossa equação a incógnita é
que depende só de
e usamos derivada total
. Logo é uma EDO. Em linguagem simples: só tem uma variável independente (
), então é EDO.
Passo 4
Definição de linearidade (passo-a-passo didático): uma equação diferencial é dita linear (na função incógnita
) se pode ser escrita como soma de termos que sejam coeficientes (funções da variável independente) multiplicando
ou suas derivadas, tudo isso de forma linear, isto é, sem potências, produtos entre
e suas derivadas, nem funções não-lineares de
. A forma geral de uma EDO linear de primeira ordem é
onde
e
são funções dadas de
. Note que em equações lineares a dependência em
aparece apenas como
(potência
) e nas derivadas também de forma linear.
Agora apliquei isso à nossa equação. Podemos reescrevê-la isolando a derivada:
Aqui aparece o termo
(ou seja,
elevado ao quadrado). Esse termo viola a linearidade porque envolve uma potência de
maior que
. Portanto a equação NÃO é linear. Em resumo: a presença de
faz dela uma equação não-linear.
Passo 5
Explicando a terminologia “homogênea / não-homogênea” e como aplicar: a expressão “homogênea” é usada de maneiras diferentes em contextos distintos, por isso vou deixar claro os dois sentidos e dizer qual é aplicável aqui.
- Sentido usado para equações lineares: uma equação diferencial linear é chamada de homogênea se o termo independente (o termo “força externa”) for zero. Ou seja, na forma
ela é homogênea se
e é não-homogênea se
. Esse conceito é pensado para equações lineares.
- Outros sentidos (não pediram aqui, mas para não confundir): para primeiras ordens existe também a noção de “equação homogênea” quando a função do lado direito depende só da razão
(por exemplo ), e em teoria de funções homogêneas fala-se sobre igualdade de graus. Esses significados são distintos e dependem do contexto.
No nosso caso a equação é não-linear (já determinamos). A classificação homogênea vs não-homogênea é, em livros como Boyce & DiPrima, uma classificação usada para equações lineares. Para equações não-lineares não faz sentido direto dizer “linear homogênea” ou “linear não-homogênea”. Se alguém usasse a regra “é homogênea se o lado direito for zero”, poderia observar que a equação está escrita com o zero no lado direito e dizer informalmente que o “lado direito é zero”. Mas isso seria enganoso: quando se pergunta se uma EDO é homogênea/no-homogênea normalmente se pressupõe que a EDO é linear, e então se verifica
ou não. Como a equação é não-linear, a classificação homogênea/não-homogênea, no sentido padrão usado por Boyce & DiPrima, não se aplica.
Portanto a conclusão correta e precisa é indicar que a questão de homogênea vs não-homogênea não é aplicável porque a equação é não-linear.
Passo 6
Resumo final das classificações, com uma frase de incentivo: resumindo e colocando de forma direta — fica tranquilo, você já fez a parte de identificar — isto é o que devemos marcar para esta equação.
Resposta
Ordem:
Tipo: EDO
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: não se aplica (a classificação homogênea / não-homogênea, no sentido usado para equações lineares, não se aplica pois a equação é não-linear)
Tipo: EDO
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: não se aplica (a classificação homogênea / não-homogênea, no sentido usado para equações lineares, não se aplica pois a equação é não-linear)