Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
\frac{d y}{d t}+t y^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d t}+t y^{2}=0
e pede que a classifiquemos segundo quatro aspectos:
  1. Ordem da equação.
  2. Se é EDO ou EDP.
  3. Se é linear ou não-linear.
  4. Se é homogênea ou não-homogênea (ou, caso não se aplique, indicar isso).
As informações relevantes fornecidas são apenas a própria equação escrita acima — não há outras condições ou funções adicionais.

Passo 2

Definição de ordem e aplicação: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece na equação. Aqui aparece apenas \frac{d y}{d t}, que é a primeira derivada de y em relação a t. Não há \frac{d^2 y}{d t^2} nem derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é
\text{ordem}=\;1.
Explicando de um jeito prático: se tivesse \frac{d^2 y}{d t^2} a ordem seria 2; como só tem \frac{d y}{d t}, é ordem 1.

Passo 3

EDO versus EDP e aplicação: uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas em relação a uma única variável independente (aqui t) e a função incógnita depende dessa única variável (aqui y(t)). Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais e funções de várias variáveis independentes. Na nossa equação a incógnita é y que depende só de t e usamos derivada total \frac{d y}{d t}. Logo é uma EDO. Em linguagem simples: só tem uma variável independente ( t), então é EDO.

Passo 4

Definição de linearidade (passo-a-passo didático): uma equação diferencial é dita linear (na função incógnita y) se pode ser escrita como soma de termos que sejam coeficientes (funções da variável independente) multiplicando y ou suas derivadas, tudo isso de forma linear, isto é, sem potências, produtos entre y e suas derivadas, nem funções não-lineares de y. A forma geral de uma EDO linear de primeira ordem é
\frac{d y}{d t}+p(t)\,y=q(t),
onde p(t) e q(t) são funções dadas de t. Note que em equações lineares a dependência em y aparece apenas como y (potência 1) e nas derivadas também de forma linear.
Agora apliquei isso à nossa equação. Podemos reescrevê-la isolando a derivada:
\frac{d y}{d t} = -t\,y^{2}.
Aqui aparece o termo y^{2} (ou seja, y elevado ao quadrado). Esse termo viola a linearidade porque envolve uma potência de y maior que 1. Portanto a equação NÃO é linear. Em resumo: a presença de y^{2} faz dela uma equação não-linear.

Passo 5

Explicando a terminologia “homogênea / não-homogênea” e como aplicar: a expressão “homogênea” é usada de maneiras diferentes em contextos distintos, por isso vou deixar claro os dois sentidos e dizer qual é aplicável aqui.
  1. Sentido usado para equações lineares: uma equação diferencial linear é chamada de homogênea se o termo independente (o termo “força externa”) for zero. Ou seja, na forma
\frac{d y}{d t}+p(t)\,y=q(t),
ela é homogênea se q(t)=0 e é não-homogênea se q(t)\neq0. Esse conceito é pensado para equações lineares.
  1. Outros sentidos (não pediram aqui, mas para não confundir): para primeiras ordens existe também a noção de “equação homogênea” quando a função do lado direito depende só da razão y/t (por exemplo \frac{d y}{d t}=f\!\big(\tfrac{y}{t}\big)), e em teoria de funções homogêneas fala-se sobre igualdade de graus. Esses significados são distintos e dependem do contexto.
No nosso caso a equação é não-linear (já determinamos). A classificação homogênea vs não-homogênea é, em livros como Boyce & DiPrima, uma classificação usada para equações lineares. Para equações não-lineares não faz sentido direto dizer “linear homogênea” ou “linear não-homogênea”. Se alguém usasse a regra “é homogênea se o lado direito for zero”, poderia observar que a equação está escrita com o zero no lado direito e dizer informalmente que o “lado direito é zero”. Mas isso seria enganoso: quando se pergunta se uma EDO é homogênea/no-homogênea normalmente se pressupõe que a EDO é linear, e então se verifica q(t)=0 ou não. Como a equação é não-linear, a classificação homogênea/não-homogênea, no sentido padrão usado por Boyce & DiPrima, não se aplica.
Portanto a conclusão correta e precisa é indicar que a questão de homogênea vs não-homogênea não é aplicável porque a equação é não-linear.

Passo 6

Resumo final das classificações, com uma frase de incentivo: resumindo e colocando de forma direta — fica tranquilo, você já fez a parte de identificar — isto é o que devemos marcar para esta equação.

Resposta

Ordem: 1
Tipo: EDO
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: não se aplica (a classificação homogênea / não-homogênea, no sentido usado para equações lineares, não se aplica pois a equação é não-linear)

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