Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
\left(y \cos (x)+2 x e^{y}\right)+\left(\sin (x)+x^{2} e^{y}-1\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede que você classifique a equação diferencial dada em quatro aspectos:
  1. A ordem da equação.
  2. Se é EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (parcial).
  3. Se é linear ou não-linear.
  4. Se é homogênea ou não-homogênea.
A equação fornecida é
\bigl(y\cos(x)+2x e^{y}\bigr)+\bigl(\sin(x)+x^{2} e^{y}-1\bigr)\,y'=0.
Informações explícitas que temos do enunciado:
  • A variável dependente é y (função de x).
  • Aparece a derivada y' (derivada de y em relação a x).
  • Há termos que envolvem e^{y}, y\cos(x), \sin(x), x^{2}e^{y}, etc.
  • A equação está escrita numa forma do tipo M(x,y)+N(x,y)\,y'=0.

Passo 2

Definição de ordem e aplicação ao problema.
O que é ordem de uma equação diferencial?
  • A ordem é o maior número de derivadas da função dependente que aparece na equação. Por exemplo, se aparece y'' (segunda derivada) a ordem é 2; se aparece apenas y' (primeira derivada) a ordem é 1.
Na equação dada a maior derivada que aparece é \;y'\; (não aparecem y'', y^{(3)}, etc.). Portanto a ordem é
\text{ordem} = 1.

Passo 3

Definição de EDO versus EDP e aplicação.
O que distingue EDO de EDP?
  • EDO (equação diferencial ordinária): envolve derivadas ordinais de uma função de uma única variável independente (por ex., y(x) com y',y'',\dots).
  • EDP (equação diferencial parcial): envolve derivadas parciais de uma função de várias variáveis independentes (por ex., u(x,t) com \partial u/\partial x,\\ \partial u/\partial t,\dots).
Na equação aparece apenas y', derivada de y em relação a uma única variável x. Não há derivadas parciais nem dependência de várias variáveis independentes. Logo trata-se de uma
EDO.

Passo 4

O que significa ser linear ou não-linear (para EDOs de ordem n)?
Definição prática:
  • Uma EDO de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) e o termo independente g(x) dependem somente da variável independente x (não dependem de y nem de funções não-lineares de y). Em particular, em uma EDO linear cada ocorrência de y ou de qualquer derivada de y aparece apenas multiplicada por uma função de x (e com potência 1), sem produtos entre y e y', sem e^{y}, \sin(y), y^2 etc.
  • Se a equação tem termos como funções não-lineares de y (por exemplo e^{y}, \sin(y), y^2) ou produtos envolvendo y e suas derivadas, então é não-linear.
Aplicando isso à equação dada:
  • Aparecem termos 2x e^{y} e x^{2} e^{y}\,y'. Esses termos contêm e^{y}, que é uma função não-linear de y. Além disso, há o produto x^{2} e^{y}\,y', que multiplica y' por uma função que depende de y.
  • Como existem dependências não-lineares em y (por exemplo e^{y}) e coeficientes que dependem de y, a equação não se encaixa na forma linear acima.
Portanto a equação é
não-linear.
Para fixar a ideia com exemplo rápido:
  • Linear: y' + p(x)\,y = q(x) (a dependência de y é linear).
  • Não-linear: y' + e^{y} = 0 (porque e^{y} não é linear em y).

Passo 5

Sobre ser homogênea ou não-homogênea — explicação cuidadosa e aplicação.
Existem duas noções que aparecem com “homogênea” em equações diferenciais — é importante separar:
(A) Homogeneidade no sentido de equação linear:
  • Para uma EDO linear, dizemos que é homogênea se o termo do lado direito (termo independente) for zero, isto é se a equação puder ser escrita com g(x)=0 na forma linear dada. Caso contrário é não-homogênea.
  • Essa noção só faz sentido se a equação for linear.
(B) Homogeneidade no sentido de funções homogêneas (usado em equações primeira-ordem na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0):
  • Diz-se que M e N são homogêneas de mesmo grau k se M(tx,ty)=t^{k}M(x,y) e N(tx,ty)=t^{k}N(x,y). Nessas condições a equação é uma “equação homogênea” e admite a substituição y=vx.
  • Esta outra noção é independente de linearidade, mas exige propriedades de escala de M e N.
Aplicando ao nosso caso:
  • Primeiro, a equação é não-linear, então a noção (A) de “linear homogênea” não se aplica na forma usual (não podemos classificar como linear-homogênea porque não é linear).
  • Segundo, olhando para M(x,y)=y\cos(x)+2x e^{y} e N(x,y)=\sin(x)+x^{2} e^{y}-1 (peguei esses M e N diretamente da equação escrita como M+N\,y'=0), vemos que M e N não satisfazem propriedade de homogeneidade em (x,y) porque aparecem funções como \cos(x), \sin(x) e e^{y}, que quebram qualquer escala simples t\mapsto tx,ty. Portanto a equação também não é “homogênea” no sentido (B).
Conclusão: a equação não é homogênea (nem no sentido de equação linear homogênea, nem no sentido de funções homogêneas de mesmo grau).

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio (sem repetir em bloco finalizado): determinamos a ordem olhando para as derivadas presentes; verificamos ser EDO porque só há derivada em relação a uma variável; aplicamos a definição de linearidade e vimos a presença de e^{y} e de coeficientes que dependem de y, o que quebra linearidade; e por fim analisamos as duas noções de homogeneidade e concluímos que nenhuma se aplica aqui (a equação não é homogênea).

Resposta

Ordem: 1
Tipo: EDO
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: não homogênea

Exercícios relacionados