Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
Passo 1
O enunciado pede que você classifique a equação diferencial dada em quatro aspectos:
- A ordem da equação.
- Se é EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (parcial).
- Se é linear ou não-linear.
- Se é homogênea ou não-homogênea.
A equação fornecida é
Informações explícitas que temos do enunciado:
- A variável dependente é
(função de ). - Aparece a derivada
(derivada de em relação a ). - Há termos que envolvem
, , , , etc. - A equação está escrita numa forma do tipo
.
Passo 2
Definição de ordem e aplicação ao problema.
O que é ordem de uma equação diferencial?
- A ordem é o maior número de derivadas da função dependente que aparece na equação. Por exemplo, se aparece
(segunda derivada) a ordem é ; se aparece apenas (primeira derivada) a ordem é .
Na equação dada a maior derivada que aparece é
(não aparecem
,
, etc.). Portanto a ordem é
Passo 3
Definição de EDO versus EDP e aplicação.
O que distingue EDO de EDP?
- EDO (equação diferencial ordinária): envolve derivadas ordinais de uma função de uma única variável independente (por ex.,
com ). - EDP (equação diferencial parcial): envolve derivadas parciais de uma função de várias variáveis independentes (por ex.,
com ).
Na equação aparece apenas
, derivada de
em relação a uma única variável
. Não há derivadas parciais nem dependência de várias variáveis independentes. Logo trata-se de uma
EDO.
EDO.
Passo 4
O que significa ser linear ou não-linear (para EDOs de ordem
)?
Definição prática:
- Uma EDO de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independente
dependem somente da variável independente
(não dependem de
nem de funções não-lineares de
). Em particular, em uma EDO linear cada ocorrência de
ou de qualquer derivada de
aparece apenas multiplicada por uma função de
(e com potência
), sem produtos entre
e
, sem
,
,
etc.
- Se a equação tem termos como funções não-lineares de
(por exemplo , , ) ou produtos envolvendo e suas derivadas, então é não-linear.
Aplicando isso à equação dada:
- Aparecem termos
e . Esses termos contêm , que é uma função não-linear de . Além disso, há o produto , que multiplica por uma função que depende de . - Como existem dependências não-lineares em
(por exemplo ) e coeficientes que dependem de , a equação não se encaixa na forma linear acima.
Portanto a equação é
não-linear.
não-linear.
Para fixar a ideia com exemplo rápido:
- Linear:
(a dependência de é linear). - Não-linear:
(porque não é linear em ).
Passo 5
Sobre ser homogênea ou não-homogênea — explicação cuidadosa e aplicação.
Existem duas noções que aparecem com “homogênea” em equações diferenciais — é importante separar:
(A) Homogeneidade no sentido de equação linear:
- Para uma EDO linear, dizemos que é homogênea se o termo do lado direito (termo independente) for zero, isto é se a equação puder ser escrita com
na forma linear dada. Caso contrário é não-homogênea. - Essa noção só faz sentido se a equação for linear.
(B) Homogeneidade no sentido de funções homogêneas (usado em equações primeira-ordem na forma diferencial
):
- Diz-se que
e são homogêneas de mesmo grau se e . Nessas condições a equação é uma “equação homogênea” e admite a substituição . - Esta outra noção é independente de linearidade, mas exige propriedades de escala de
e .
Aplicando ao nosso caso:
- Primeiro, a equação é não-linear, então a noção (A) de “linear homogênea” não se aplica na forma usual (não podemos classificar como linear-homogênea porque não é linear).
- Segundo, olhando para
e (peguei esses e diretamente da equação escrita como ), vemos que e não satisfazem propriedade de homogeneidade em porque aparecem funções como , e , que quebram qualquer escala simples . Portanto a equação também não é “homogênea” no sentido (B).
Conclusão: a equação não é homogênea (nem no sentido de equação linear homogênea, nem no sentido de funções homogêneas de mesmo grau).
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio (sem repetir em bloco finalizado): determinamos a ordem olhando para as derivadas presentes; verificamos ser EDO porque só há derivada em relação a uma variável; aplicamos a definição de linearidade e vimos a presença de
e de coeficientes que dependem de
, o que quebra linearidade; e por fim analisamos as duas noções de homogeneidade e concluímos que nenhuma se aplica aqui (a equação não é homogênea).
Resposta
Ordem:
Tipo: EDO
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: não homogênea
Tipo: EDO
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: não homogênea