Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
u_{x x x x}+\log _{2}(x) u_{x x y y}+u_{y y y y}=u

Passo 1

O enunciado pede que classifiquemos a equação diferencial dada em quatro aspectos:
  1. Qual é a ordem da equação?
  2. É uma EDO ou uma EDP?
  3. É linear ou não-linear?
  4. É homogênea ou não-homogênea?
Informações fornecidas no enunciado:
u_{x x x x}+\log_{2}(x)\,u_{x x y y}+u_{y y y y}=u.
Anotei que há derivadas parciais mistas e de quarta ordem, há um coeficiente \log_{2}(x) dependendo de x, e o lado direito é u (a própria função desconhecida). Também observo que \log_{2}(x) exige x>0 para estar bem definido, informação que pode ser relevante para o domínio da equação.

Passo 2

Definindo EDO vs EDP (para eu te explicar direitinho):
  • Uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas em relação a apenas uma variável independente (por exemplo x), ou seja a função desconhecida depende de uma única variável.
  • Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes (por exemplo x e y), ou seja a função desconhecida depende de múltiplas variáveis.
Aplicando ao nosso caso: aparecem derivações parciais u_{x x x x}, u_{x x y y} e u_{y y y y}, portanto a função desconhecida é u(x,y) e há derivadas em relação a x e a y. Logo trata-se de uma EDP (equação diferencial parcial).

Passo 3

Como determinar a ordem da equação:
  • A ordem de uma equação diferencial (ordem total) é o maior número de derivadas (ordem) que aparece na equação, considerando derivadas parciais também. Uma derivada mista u_{x x y y} tem ordem 4 (soma das multiplicidades dos diferenciais: 2 em x mais 2 em y).
Na equação dada, os termos com maior ordem são u_{x x x x}, u_{x x y y} e u_{y y y y}. Cada um é de ordem 4. Portanto a ordem da equação é 4.

Passo 4

O que significa ser linear (no contexto de EDPs) — explicação didática:
  • Uma EDP é linear se ela pode ser escrita na forma
L[u]=f,
onde L é um operador linear aplicado a u: isto é, L[a u_1 + b u_2] = a L[u_1] + b L[u_2] para quaisquer escalares a,b e funções u_1,u_2. Em termos práticos, isso significa que cada termo da equação é ou uma derivada de u multiplicada por uma função conhecida dos independentes (por exemplo x,y) ou uma combinação linear desses termos; não existem produtos não-lineares entre u e suas derivadas, potências de u (como u^2), nem funções não-lineares de u (como \sin(u)).
Vamos ver a equação:
u_{x x x x}+\log_{2}(x)\,u_{x x y y}+u_{y y y y}=u.
Trago tudo para um lado para colocar na forma L[u]=0:
u_{x x x x}+\log_{2}(x)\,u_{x x y y}+u_{y y y y}-u=0.
Defino o operador linear candidato
L[u]=u_{x x x x}+\log_{2}(x)\,u_{x x y y}+u_{y y y y}-u.
Verificação de linearidade (mostrando a propriedade):
Se u e v são duas funções e a,b números reais, então
\begin{aligned} L[a u + b v] &= (a u + b v)_{x x x x} + \log_{2}(x)\,(a u + b v)_{x x y y} \\\ &\quad + (a u + b v)_{y y y y} - (a u + b v)\\\ &= a\,u_{x x x x} + b\,v_{x x x x} + \log_{2}(x)\big(a\,u_{x x y y}+b\,v_{x x y y}\big) \\\ &\quad + a\,u_{y y y y} + b\,v_{y y y y} - a u - b v\\\ &= a\big(u_{x x x x}+\log_{2}(x)\,u_{x x y y}+u_{y y y y}-u\big) \\\ &\quad + b\big(v_{x x x x}+\log_{2}(x)\,v_{x x y y}+v_{y y y y}-v\big)\\\ &= a L[u] + b L[v]. \end{aligned}
Isso mostra que L é linear: não usamos produtos como u\cdot u_x, nem u^2, nem funções não-lineares de u. O coeficiente \log_{2}(x) depende de x mas isso não quebra a linearidade (coeficientes podem ser funções conhecidas das variáveis independentes).
Portanto a equação é linear.

Passo 5

O que significa ser homogênea (no contexto linear):
  • Para equações lineares, “homogênea” normalmente significa que o membro de força (o termo independente) é zero, isto é a equação pode ser escrita como L[u]=0. Se tivermos L[u]=g(x,y) com g\not\equiv 0, dizemos que é não-homogênea (ou com termo fonte).
Na nossa equação, depois de reescrever como
u_{x x x x}+\log_{2}(x)\,u_{x x y y}+u_{y y y y}-u=0,
temos um operador linear L aplicado a u igual a zero. Não há um termo externo g(x,y) independente de u. Portanto, no sentido usual para equações lineares, ela é homogênea.
Observação adicional sobre domínio:
  • Como mencionado antes, \log_{2}(x) exige x>0. Então o domínio razoável para a equação (pelo menos onde a notação atual faz sentido) é um subconjunto do plano (x,y) com x>0. Isso não altera a classificação (ordem, PDE, linear, homogênea) mas é importante pensar no domínio ao estudar soluções.

Passo 6

Recapitulando pedagogicamente (para você decorar na hora da prova):
  • Quando alguém te der uma equação com derivadas em x e y, já acende a lâmpada: é EDP.
  • Procure o maior número de derivadas (contando multiplicidades em derivadas mistas) para achar a ordem.
  • Para checar linearidade, busque termos como u^2, u\,u_x, \sin(u) etc. Se não houver essas coisas e todos os termos são derivadas de u multiplicadas por coeficientes que dependem apenas de x,y (ou constantes), é linear.
  • Para homogeneidade, reorganize como L[u]= alguma coisa; se essa coisa for 0, é homogênea. Se for uma função não-nula dos independentes, é não-homogênea.
Agora já temos toda a justificativa pronta para responder concisamente.

Resposta

Ordem: 4
Tipo: EDP (equação diferencial parcial)
Linearidade: linear
Homogeneidade: homogênea

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