Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
Passo 1
O enunciado pede que classifiquemos a equação diferencial dada em quatro aspectos:
- Qual é a ordem da equação?
- É uma EDO ou uma EDP?
- É linear ou não-linear?
- É homogênea ou não-homogênea?
Informações fornecidas no enunciado:
Anotei que há derivadas parciais mistas e de quarta ordem, há um coeficiente
dependendo de
, e o lado direito é
(a própria função desconhecida). Também observo que
exige
para estar bem definido, informação que pode ser relevante para o domínio da equação.
Passo 2
Definindo EDO vs EDP (para eu te explicar direitinho):
- Uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas em relação a apenas uma variável independente (por exemplo
), ou seja a função desconhecida depende de uma única variável. - Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes (por exemplo
e ), ou seja a função desconhecida depende de múltiplas variáveis.
Aplicando ao nosso caso: aparecem derivações parciais
,
e
, portanto a função desconhecida é
e há derivadas em relação a
e a
. Logo trata-se de uma EDP (equação diferencial parcial).
Passo 3
Como determinar a ordem da equação:
- A ordem de uma equação diferencial (ordem total) é o maior número de derivadas (ordem) que aparece na equação, considerando derivadas parciais também. Uma derivada mista
tem ordem (soma das multiplicidades dos diferenciais: em mais em ).
Na equação dada, os termos com maior ordem são
,
e
. Cada um é de ordem
. Portanto a ordem da equação é
.
Passo 4
O que significa ser linear (no contexto de EDPs) — explicação didática:
- Uma EDP é linear se ela pode ser escrita na forma
onde
é um operador linear aplicado a
: isto é,
para quaisquer escalares
e funções
. Em termos práticos, isso significa que cada termo da equação é ou uma derivada de
multiplicada por uma função conhecida dos independentes (por exemplo
) ou uma combinação linear desses termos; não existem produtos não-lineares entre
e suas derivadas, potências de
(como
), nem funções não-lineares de
(como
).
Vamos ver a equação:
Trago tudo para um lado para colocar na forma
:
Defino o operador linear candidato
Verificação de linearidade (mostrando a propriedade):
Se e
são duas funções e
números reais, então
Se
Isso mostra que
é linear: não usamos produtos como
, nem
, nem funções não-lineares de
. O coeficiente
depende de
mas isso não quebra a linearidade (coeficientes podem ser funções conhecidas das variáveis independentes).
Portanto a equação é linear.
Passo 5
O que significa ser homogênea (no contexto linear):
- Para equações lineares, “homogênea” normalmente significa que o membro de força (o termo independente) é zero, isto é a equação pode ser escrita como
. Se tivermos com , dizemos que é não-homogênea (ou com termo fonte).
Na nossa equação, depois de reescrever como
temos um operador linear
aplicado a
igual a zero. Não há um termo externo
independente de
. Portanto, no sentido usual para equações lineares, ela é homogênea.
Observação adicional sobre domínio:
- Como mencionado antes,
exige . Então o domínio razoável para a equação (pelo menos onde a notação atual faz sentido) é um subconjunto do plano com . Isso não altera a classificação (ordem, PDE, linear, homogênea) mas é importante pensar no domínio ao estudar soluções.
Passo 6
Recapitulando pedagogicamente (para você decorar na hora da prova):
- Quando alguém te der uma equação com derivadas em
e , já acende a lâmpada: é EDP. - Procure o maior número de derivadas (contando multiplicidades em derivadas mistas) para achar a ordem.
- Para checar linearidade, busque termos como
, , etc. Se não houver essas coisas e todos os termos são derivadas de multiplicadas por coeficientes que dependem apenas de (ou constantes), é linear. - Para homogeneidade, reorganize como
alguma coisa; se essa coisa for , é homogênea. Se for uma função não-nula dos independentes, é não-homogênea.
Agora já temos toda a justificativa pronta para responder concisamente.
Resposta
Ordem:
Tipo: EDP (equação diferencial parcial)
Linearidade: linear
Homogeneidade: homogênea
Tipo: EDP (equação diferencial parcial)
Linearidade: linear
Homogeneidade: homogênea