Os braços do interferômetro de Michelson-Morley tinham cerca de 10 m e a fonte de luz era de sódio, com comprimento de onda de 5900 A.
(a) Determine as diferenças de tempo e de marcha (de esperadas, quando o feixe de luz é paralelo à velocidade da Terra;
(b) Se a sensibilidade do aparelho para o deslocamento das franjas era de 0,005 , estime qual seria a menor velocidade relativa entre a Terra e o éter.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: num interferômetro de Michelson–Morley com braços de comprimento L = 10 m e luz de sódio com comprimento de onda λ = 5900 Å = 5,9×10⁻⁷ m, a Terra se move (supostamente) a v ≈ 3×10⁴ m/s no éter.
Conteúdo: Óptica de interferência + cinemática relativística ao 1º ordem em v²/c².
O que precisamos:
  • Derivar o tempo que a luz leva para ir e voltar em cada braço (paralelo e perpendicular à v).
  • Calcular a diferença de tempo Δt e a diferença de caminho δ = c Δt.
  • Para (b), usar a sensibilidade de 0,005 franjas ⇒ δ mínimo ⇒ achar v mínimo.

Passo 2

Teoria do braço paralelo
  1. Quando a luz vai e volta no braço na mesma direção da velocidade v da Terra, o tempo vai e volta é
    t₊ = L/(c − v) e t₋ = L/(c + v).
    Logo
    t_par = t₊ + t₋ = L (1/(c−v) + 1/(c+v)).
  2. Fazendo a soma:
    1/(c−v) + 1/(c+v) = (c+v + c−v)/(c²−v²) = 2c/(c²−v²).
    Então
    t_par = 2L c/(c² − v²) = (2L/c)·1/(1 − v²/c²).
  3. Como v ≪ c, a gente usa a expansão de binômio até ordem v²/c²:
    1/(1−v²/c²) ≈ 1 + v²/c².
    Logo
    t_par ≈ (2L/c) (1 + v²/c²).

Passo 3

Teoria do braço perpendicular
  1. No braço perpendicular a v, o feixe “desvia” pra compensar o movimento (tipo lago e barco). O tempo total é
    t_perp = 2L/[c √(1 − v²/c²)].
  2. Expansão binomial também:
    1/√(1−v²/c²) ≈ 1 + ½ (v²/c²).
    Logo
    t_perp ≈ (2L/c)(1 + ½ v²/c²).

Passo 4

Diferença de tempo e diferença de caminho
  1. Δt = t_par − t_perp
    ≈ (2L/c)[(1 + v²/c²) − (1 + ½ v²/c²)]
    = (2L/c)(½ v²/c²)
    = L v²/c³.
  2. A diferença de caminho é δ = c Δt = L v²/c².

Passo 5

Parte (a): valores numéricos
Dados: L = 10 m, v = 3×10⁴ m/s, c = 3×10⁸ m/s.
  1. Δt = L v²/c³ = 10·(3×10⁴)²/(3×10⁸)³
    = 10·9×10⁸ / 27×10²⁴
    ≈ 3,3×10⁻¹⁶ s.
  2. δ = c Δt ≈ 3×10⁸·3,3×10⁻¹⁶ = 1,0×10⁻⁷ m.

Passo 6

Parte (b): sensibilidade de 0,005 franjas
  1. Uma franja é λ de caminho; 0,005 franjas ⇒ δ_min = 0,005 λ = 0,005·5,9×10⁻⁷ = 2,95×10⁻⁹ m.
  2. Usando δ = L v²/c² ⇒ v² = δ c²/L ⇒
    v² = (2,95×10⁻⁹)(9×10¹⁶)/10 = 2,655×10⁸ ⇒
    v ≈ √(2,655×10⁸) ≈ 1,6×10⁴ m/s.

Resposta

(a) Δt ≈ 3,3×10⁻¹⁶ s e δ ≈ 1,0×10⁻⁷ m.
(b) A menor velocidade detectável seria v ≈ 1,6×10⁴ m/s.

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