O Brasil taxa em 15% a renda mensal entre \mathrm{R} \ 1.313,70 e\mathrm{R} $2.625,12 e em 27,5\% a renda acima deste valor, sendo isenta a parcela inferior ou igual a\mathrm{R} $ 1.313,69$.
a) Determine uma função que represente o imposto pago sobre uma renda qualquer.
b) Verifique se esta função é contínua, ou seja, se a transição entre uma faixa e outra se dá de modo contínuo, minimizando injustiças.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar uma função que represente o imposto pago em função da renda mensal qualquer.
  • (b) Verificar se essa função é contínua nas mudanças de faixa.
Informações fornecidas (peguei todos estes números do enunciado):
  • Parcela isenta: renda até e incluindo \mathrm{R} \$\,1.313{,}69.
  • Faixa com alíquota de 15\% sobre a renda que estiver entre \mathrm{R} \$\,1.313{,}70 e \mathrm{R} \$\,2.625{,}12.
  • Faixa com alíquota de 27{,}5\% sobre a renda que exceder \mathrm{R} \$\,2.625{,}12.
Vou chamar de x a renda mensal (em reais) e de T(x) o imposto (em reais).

Passo 2

Entendendo como se calcula o imposto progressivo (a ideia importante, explicada devagar).
  • Em um sistema progressivo como este, a alíquota incide apenas sobre a parte da renda que está dentro daquela faixa, não sobre toda a renda.
  • Assim, para uma renda pequena (até o limite da isenção) o imposto é zero.
  • Para uma renda na segunda faixa, paga-se 15\% apenas sobre o que ultrapassa a isenção.
  • Para renda na terceira faixa, paga-se:
    • 15\% sobre toda a segunda faixa (ou seja, sobre o trecho entre 1.313{,}69 e 2.625{,}12), mais
    • 27{,}5\% sobre o que exceder 2.625{,}12.
Agora vamos escrever essas ideias em fórmulas passo a passo.

Passo 3

Imposto para uma renda na faixa intermediária:
  • Se x \le 1.313{,}69 então T(x)=0.
  • Se 1.313{,}69 < x \le 2.625{,}12, então o imposto é 15\% sobre o excedente da isenção:
T(x)=0{,}15\bigl(x-1.313{,}69\bigr).
Expliquei: aqui \bigl(x-1.313{,}69\bigr) é o valor da renda sujeito à alíquota de 15\%.

Passo 4

Imposto para renda acima de \mathrm{R} \$\,2.625{,}12:
  • Primeiro calcule a largura da segunda faixa:
2.625{,}12 - 1.313{,}69 = 1.311{,}43.
  • O imposto correspondente a toda a segunda faixa (ou seja, o valor fixo que sempre será pago quando a renda ultrapassa a segunda faixa) é
0{,}15 \times 1.311{,}43 = 196{,}7145.
(este é o imposto acumulado correspondente à segunda faixa inteira).
  • Para x>2.625{,}12 soma-se a esse valor 27{,}5\% sobre o excedente x-2.625{,}12. Assim:
T(x)=196{,}7145 + 0{,}275\bigl(x-2.625{,}12\bigr),\qquad x>2.625{,}12.

Passo 5

Agora juntamos tudo numa função por partes (peça-a-por- peça, fácil de aplicar na prova):
T(x)= \begin{cases} 0, & x \le 1.313{,}69,\\[6pt] 0{,}15\bigl(x-1.313{,}69\bigr), & 1.313{,}69 < x \le 2.625{,}12,\\[6pt] 196{,}7145 + 0{,}275\bigl(x-2.625{,}12\bigr), & x > 2.625{,}12. \end{cases}
Observação prática: em contexto financeiro costuma-se arredondar o valor fixo 196{,}7145 para dois centavos ( 196{,}71), mas matematicamente o valor exato da conta é 196{,}7145.]

Passo 6

Verificação de continuidade (passo a passo, muito importante para ver se há “salto” que poderia causar injustiça):
  • No ponto x=1.313{,}69:
    • Valor pela esquerda: T(1.313{,}69)=0 (pela primeira definição).
    • Limite pela direita: substituindo na expressão do meio dá
    0{,}15\bigl(1.313{,}69-1.313{,}69\bigr)=0{,}15\cdot 0 = 0.Portanto os dois lados coincidem: não há salto em 1.313{,}69.
  • No ponto x=2.625{,}12:
    • Valor pela esquerda (usar expressão do meio):
    T(2.625{,}12)=0{,}15\bigl(2.625{,}12-1.313{,}69\bigr)=0{,}15\times 1.311{,}43 = 196{,}7145.
    • Valor pela direita (usar expressão do topo com x=2.625{,}12):
    196{,}7145 + 0{,}275\bigl(2.625{,}12-2.625{,}12\bigr)=196{,}7145 + 0 = 196{,}7145.Também coincidem: não há salto em 2.625{,}12.
Conclusão: a função não tem saltos nos pontos de transição — é contínua. (Observação adicional: embora contínua, a derivada tem salto nesses pontos porque a alíquota marginal passa de 0\% para 15\% e depois para 27{,}5\%, ou seja, a inclinação da função muda bruscamente.)

Resposta

T(x)= \begin{cases} 0, & x \le 1.313{,}69,\\[6pt] 0{,}15\bigl(x-1.313{,}69\bigr), & 1.313{,}69 < x \le 2.625{,}12,\\[6pt] 196{,}7145 + 0{,}275\bigl(x-2.625{,}12\bigr), & x > 2.625{,}12. \end{cases}
Sim — a função T(x) é contínua nas transições x=1.313{,}69 e x=2.625{,}12 (os valores à esquerda e à direita coincidem).]

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