O Brasil taxa em 15% a renda mensal entre \mathrm{R} \ 1.313,70e\mathrm{R} $2.625,12e em 27,5\% a renda acima deste valor, sendo isenta a parcela inferior ou igual a\mathrm{R} $ 1.313,69$.
a) Determine uma função que represente o imposto pago sobre uma renda qualquer.
b) Verifique se esta função é contínua, ou seja, se a transição entre uma faixa e outra se dá de modo contínuo, minimizando injustiças.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar uma função que represente o imposto pago em função da renda mensal qualquer.
(b) Verificar se essa função é contínua nas mudanças de faixa.
Informações fornecidas (peguei todos estes números do enunciado):
Parcela isenta: renda até e incluindo \mathrm{R} \$\,1.313{,}69.
Faixa com alíquota de 15\% sobre a renda que estiver entre \mathrm{R} \$\,1.313{,}70 e \mathrm{R} \$\,2.625{,}12.
Faixa com alíquota de 27{,}5\% sobre a renda que exceder \mathrm{R} \$\,2.625{,}12.
Vou chamar de x a renda mensal (em reais) e de T(x) o imposto (em reais).
Passo 2
Entendendo como se calcula o imposto progressivo (a ideia importante, explicada devagar).
Em um sistema progressivo como este, a alíquota incide apenas sobre a parte da renda que está dentro daquela faixa, não sobre toda a renda.
Assim, para uma renda pequena (até o limite da isenção) o imposto é zero.
Para uma renda na segunda faixa, paga-se 15\% apenas sobre o que ultrapassa a isenção.
Para renda na terceira faixa, paga-se:
15\% sobre toda a segunda faixa (ou seja, sobre o trecho entre 1.313{,}69 e 2.625{,}12), mais
27{,}5\% sobre o que exceder 2.625{,}12.
Agora vamos escrever essas ideias em fórmulas passo a passo.
Passo 3
Imposto para uma renda na faixa intermediária:
Se x \le 1.313{,}69 então T(x)=0.
Se 1.313{,}69 < x \le 2.625{,}12, então o imposto é 15\% sobre o excedente da isenção:
T(x)=0{,}15\bigl(x-1.313{,}69\bigr).
Expliquei: aqui \bigl(x-1.313{,}69\bigr) é o valor da renda sujeito à alíquota de 15\%.
Passo 4
Imposto para renda acima de \mathrm{R} \$\,2.625{,}12:
Primeiro calcule a largura da segunda faixa:
2.625{,}12 - 1.313{,}69 = 1.311{,}43.
O imposto correspondente a toda a segunda faixa (ou seja, o valor fixo que sempre será pago quando a renda ultrapassa a segunda faixa) é
0{,}15 \times 1.311{,}43 = 196{,}7145.
(este é o imposto acumulado correspondente à segunda faixa inteira).
Para x>2.625{,}12 soma-se a esse valor 27{,}5\% sobre o excedente x-2.625{,}12. Assim:
Agora juntamos tudo numa função por partes (peça-a-por- peça, fácil de aplicar na prova):
T(x)= \begin{cases} 0, & x \le 1.313{,}69,\\[6pt] 0{,}15\bigl(x-1.313{,}69\bigr), & 1.313{,}69 < x \le 2.625{,}12,\\[6pt] 196{,}7145 + 0{,}275\bigl(x-2.625{,}12\bigr), & x > 2.625{,}12. \end{cases}
Observação prática: em contexto financeiro costuma-se arredondar o valor fixo 196{,}7145 para dois centavos (196{,}71), mas matematicamente o valor exato da conta é 196{,}7145.]
Passo 6
Verificação de continuidade (passo a passo, muito importante para ver se há “salto” que poderia causar injustiça):
No ponto x=1.313{,}69:
Valor pela esquerda: T(1.313{,}69)=0 (pela primeira definição).
Limite pela direita: substituindo na expressão do meio dá
0{,}15\bigl(1.313{,}69-1.313{,}69\bigr)=0{,}15\cdot 0 = 0.Portanto os dois lados coincidem: não há salto em 1.313{,}69.
Valor pela direita (usar expressão do topo com x=2.625{,}12):
196{,}7145 + 0{,}275\bigl(2.625{,}12-2.625{,}12\bigr)=196{,}7145 + 0 = 196{,}7145.Também coincidem: não há salto em 2.625{,}12.
Conclusão: a função não tem saltos nos pontos de transição — é contínua. (Observação adicional: embora contínua, a derivada tem salto nesses pontos porque a alíquota marginal passa de 0\% para 15\% e depois para 27{,}5\%, ou seja, a inclinação da função muda bruscamente.)
Resposta
T(x)= \begin{cases} 0, & x \le 1.313{,}69,\\[6pt] 0{,}15\bigl(x-1.313{,}69\bigr), & 1.313{,}69 < x \le 2.625{,}12,\\[6pt] 196{,}7145 + 0{,}275\bigl(x-2.625{,}12\bigr), & x > 2.625{,}12. \end{cases}
Sim — a função T(x) é contínua nas transições x=1.313{,}69 e x=2.625{,}12 (os valores à esquerda e à direita coincidem).]