Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque. Depois faça os respectivos gráficos, utilizando o programa winplot.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que temos:
- O enunciado pede para investigar a continuidade da função
dada por
- Precisamos determinar os pontos ou intervalos onde
é contínua ou descontínua, explicando o porquê. - Depois foi pedido fazer os gráficos em Winplot (vou explicar exatamente como plotar).
Informações que temos explicitamente: a expressão é a composição da função cosseno com a função secante, isto é
. Não há outros dados numéricos. Vou trabalhar com medidas em radianos (padrão em trigonometria).
Passo 2
Determinar o domínio (onde a função está definida) — passo essencial antes de falar de continuidade.
- Lembre que
. Portanto está definida se, e somente se, . - Os zeros de
são os pontos
- Assim o domínio de
é
Explicação rápida e intuitiva: em cada ponto onde
a secante tende a infinito (não está definida), então
não existe nesses pontos.
Passo 3
Mostrar que
é contínua em todo ponto do domínio. Aqui dou a teoria necessária, de maneira prática.
- Teoria usada: se
e são funções contínuas num ponto e está no domínio de , então a composição é contínua em . Também: funções trigonométricas usuais ( ) são contínuas em todo ; a função recíproca é contínua em qualquer ponto onde . - Aplicando isso: fixemos
. Então é contínua em e . Logo a função é contínua em (recíproco de uma função contínua não-nula). Como é contínua em toda parte, a composição
é contínua em
.
- Conclusão deste passo: em todo ponto do domínio
a função é contínua, por ser composição de funções contínuas.
Passo 4
Investigar o comportamento em pontos fora do domínio, isto é em
. Estes são pontos onde
não está definida; precisamos ver se a descontinuidade é removível, infinita ou do tipo oscilatório (sem limite). Vou mostrar que o limite não existe (oscilação), portanto a descontinuidade é não-removível e sem limite. Prova por construção de sequências (método padrão e muito útil em provas).
-
Observe que, quando
, temos , portanto (sinal depende do lado de aproximação). A composição tem argumento que tende para infinito, e a função oscila quando o argumento vai para infinito — isso sugere que não há limite único. Vou tornar isso rigoroso com duas sequências que tendem a mas com valores de que tendem a limites distintos. -
Construa sequências que façam
ser múltiplos inteiros de . Para grande, defina números em termos de : - Tome
(múltiplos pares de ); então . - Tome
(múltiplos ímpares de ); então .
Queremos escolhere próximos de tais que Isso é equivalente aParagrande, os números e são positivos e tendem a . Como é contínua e, ao nos aproximarmos de pelo lado apropriado, assume todos os valores pequenos em módulo próximos de zero (teorema do valor intermediário aplicado localmente), existem e suficientemente próximos de que satisfazem as igualdades acima. Logo e quando . - Tome
-
Avaliando
nessas sequências:
Assim temos duas sequências com envoltória em torno de
que produzem limites distintos (
e
). Isso prova que
não existe. Portanto em cada ponto
a função não tem limite e, em particular, é descontínua ali (não removível).
Passo 5
Interpretação qualitativa e nome da descontinuidade — ajuda para a prova e para o desenho do gráfico.
- Em
a secante tende a ; como é periódica e oscila entre e quando o argumento cresce sem limite, a composição produz oscilações arbitrárias entre e ao se aproximar de . Portanto a descontinuidade é do tipo oscilatório essencial (não é um polo simples nem uma descontinuidade removível). Não há limite lateral bem definido. - Em todos os demais pontos (no domínio) a função é contínua, conforme passo 3.
Passo 6
Como fazer os gráficos em Winplot (passo a passo prático e dicas para o exame). Vou ser prático, como se eu estivesse ao seu lado mexendo no programa. Lembre-se: Winplot usa radianos por padrão (confirme nas opções; se necessário ajuste para radianos).
- Expressão a digitar: como Winplot talvez não tenha tecla “sec”, digite a função como
ou seja, escreva exatamente
cos(1/cos(x)). Sempre verifique que o parêntese fecha corretamente.- Plotagem por intervalos: para evitar que o programa una pontos através das descontinuidades (e para capturar a oscilação perto das assíntotas), é melhor plotar
separadamente em cada intervalo entre duas assíntotas consecutivas. Os intervalos fundamentais são
Por exemplo, para ver a porção central use
, numericamente
. Para a direita use
etc.
- Janela sugerida: escolha
entre e (porque a imagem de está em ). Para comece com uma janela como para ver várias repetições; depois faça zoom em um intervalo entre assíntotas para observar a oscilação. - Qualidade da amostragem: aumente a densidade de pontos nas proximidades das assíntotas para visualizar a oscilação rápida. Em Winplot ajuste a “step” ou “plot resolution” para um passo pequeno (por exemplo
ou ) quando for fazer zoom próximo a . Note que isso exige mais CPU. - Atenção ao conectar pontos: se Winplot ligar pontos de um lado da assíntota ao do outro, subdivida o domínio e faça várias curvas, uma para cada intervalo
, assim não aparecem traços entre intervalos não-definidos. - Observação importante para o desenho: ao aproximar-se de
o gráfico não tende a ; ao invés disso, ele salta entre valores entre e com frequência crescente — o gráfico mostra “riscos” densos entre e imediatamente próximos à assíntota.
Passo 7
Resumo e interpretação final para você decorar para a prova (do jeito direto, claro e amigável):
- Domínio e continuidade:
está definida e é contínua em todos os pontos onde . - Discontinuidades: em cada ponto
a função não está definida e o limite não existe (oscila entre e ). Essas descontinuidades são essenciais/oscilatórias.
Força aí — na prova descreva o domínio, aplique a composição de contínuas para os pontos do domínio e faça a construção por sequências (ou argumento de oscilação) para provar que não há limite nas assíntotas.