Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque. Depois faça os respectivos gráficos, utilizando o programa winplot.
f(x)=\cos \operatorname{sec} (x)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que temos:
  • O enunciado pede para investigar a continuidade da função f dada por
f(x)=\cos\operatorname{sec}(x).
  • Precisamos determinar os pontos ou intervalos onde f é contínua ou descontínua, explicando o porquê.
  • Depois foi pedido fazer os gráficos em Winplot (vou explicar exatamente como plotar).
Informações que temos explicitamente: a expressão é a composição da função cosseno com a função secante, isto é f(x)=\cos\big(\operatorname{sec}(x)\big). Não há outros dados numéricos. Vou trabalhar com medidas em radianos (padrão em trigonometria).

Passo 2

Determinar o domínio (onde a função está definida) — passo essencial antes de falar de continuidade.
  • Lembre que \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Portanto \operatorname{sec}(x) está definida se, e somente se, \cos(x)\neq0.
  • Os zeros de \cos são os pontos
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Assim o domínio de f é
\mathcal{D}=\{x\in\mathbb{R}\mid \cos(x)\neq0\}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi:\;k\in\mathbb{Z}\right\}.
Explicação rápida e intuitiva: em cada ponto onde \cos(x)=0 a secante tende a infinito (não está definida), então f não existe nesses pontos.

Passo 3

Mostrar que f é contínua em todo ponto do domínio. Aqui dou a teoria necessária, de maneira prática.
  • Teoria usada: se g e h são funções contínuas num ponto a e h(a) está no domínio de g, então a composição g\circ h é contínua em a. Também: funções trigonométricas usuais ( \cos) são contínuas em todo \mathbb{R}; a função recíproca x\mapsto 1/x é contínua em qualquer ponto onde x\neq0.
  • Aplicando isso: fixemos a\in\mathcal{D}. Então \cos é contínua em a e \cos(a)\neq0. Logo a função x\mapsto 1/\cos(x)=\operatorname{sec}(x) é contínua em a (recíproco de uma função contínua não-nula). Como \cos é contínua em toda parte, a composição
f(x)=\cos\big(\operatorname{sec}(x)\big)
é contínua em a.
  • Conclusão deste passo: em todo ponto do domínio \mathcal{D} a função f é contínua, por ser composição de funções contínuas.

Passo 4

Investigar o comportamento em pontos fora do domínio, isto é em x_0=\dfrac{\pi}{2}+k\pi. Estes são pontos onde f não está definida; precisamos ver se a descontinuidade é removível, infinita ou do tipo oscilatório (sem limite). Vou mostrar que o limite não existe (oscilação), portanto a descontinuidade é não-removível e sem limite. Prova por construção de sequências (método padrão e muito útil em provas).
  • Observe que, quando x\to x_0, temos \cos(x)\to0, portanto \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x)\to\pm\infty (sinal depende do lado de aproximação). A composição \cos(\operatorname{sec}(x)) tem argumento que tende para infinito, e a função \cos oscila quando o argumento vai para infinito — isso sugere que não há limite único. Vou tornar isso rigoroso com duas sequências que tendem a x_0 mas com valores de f que tendem a limites distintos.
  • Construa sequências que façam \operatorname{sec}(x_n) ser múltiplos inteiros de \pi. Para n\in\mathbb{N} grande, defina números em termos de n:
    • Tome t_n=2n\pi (múltiplos pares de \pi); então \cos(t_n)=1.
    • Tome s_n=(2n+1)\pi (múltiplos ímpares de \pi); então \cos(s_n)=-1.
    Queremos escolher x_n e y_n próximos de x_0 tais que
    \operatorname{sec}(x_n)=t_n,\qquad \operatorname{sec}(y_n)=s_n.
    Isso é equivalente a
    \cos(x_n)=\frac{1}{t_n}=\frac{1}{2n\pi},\qquad \cos(y_n)=\frac{1}{s_n}=\frac{1}{(2n+1)\pi}.
    Para n grande, os números \dfrac{1}{2n\pi} e \dfrac{1}{(2n+1)\pi} são positivos e tendem a 0. Como \cos é contínua e, ao nos aproximarmos de x_0=\tfrac{\pi}{2}+k\pi pelo lado apropriado, assume todos os valores pequenos em módulo próximos de zero (teorema do valor intermediário aplicado localmente), existem x_n e y_n suficientemente próximos de x_0 que satisfazem as igualdades acima. Logo x_n\to x_0 e y_n\to x_0 quando n\to\infty.
  • Avaliando f nessas sequências:
    f(x_n)=\cos\big(\operatorname{sec}(x_n)\big)=\cos(t_n)=\cos(2n\pi)=1,
f(y_n)=\cos\big(\operatorname{sec}(y_n)\big)=\cos(s_n)=\cos((2n+1)\pi)=-1.
Assim temos duas sequências com envoltória em torno de x_0 que produzem limites distintos ( 1 e -1). Isso prova que
\lim_{x\to x_0} f(x)
não existe. Portanto em cada ponto x_0=\dfrac{\pi}{2}+k\pi a função não tem limite e, em particular, é descontínua ali (não removível).

Passo 5

Interpretação qualitativa e nome da descontinuidade — ajuda para a prova e para o desenho do gráfico.
  • Em x_0=\dfrac{\pi}{2}+k\pi a secante tende a \pm\infty; como \cos é periódica e oscila entre -1 e 1 quando o argumento cresce sem limite, a composição produz oscilações arbitrárias entre -1 e 1 ao se aproximar de x_0. Portanto a descontinuidade é do tipo oscilatório essencial (não é um polo simples nem uma descontinuidade removível). Não há limite lateral bem definido.
  • Em todos os demais pontos (no domínio) a função é contínua, conforme passo 3.

Passo 6

Como fazer os gráficos em Winplot (passo a passo prático e dicas para o exame). Vou ser prático, como se eu estivesse ao seu lado mexendo no programa. Lembre-se: Winplot usa radianos por padrão (confirme nas opções; se necessário ajuste para radianos).
  • Expressão a digitar: como Winplot talvez não tenha tecla “sec”, digite a função como
f(x)=\cos\!\big(1/\cos(x)\big)
ou seja, escreva exatamente cos(1/cos(x)). Sempre verifique que o parêntese fecha corretamente.
  • Plotagem por intervalos: para evitar que o programa una pontos através das descontinuidades (e para capturar a oscilação perto das assíntotas), é melhor plotar f separadamente em cada intervalo entre duas assíntotas consecutivas. Os intervalos fundamentais são
\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Por exemplo, para ver a porção central use \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right), numericamente (-1{,}5708,\;1{,}5708). Para a direita use (1{,}5708,\,4{,}7124) etc.
  • Janela sugerida: escolha y entre -1{,}5 e 1{,}5 (porque a imagem de \cos está em [-1,1]). Para x comece com uma janela como [-5,5] para ver várias repetições; depois faça zoom em um intervalo entre assíntotas para observar a oscilação.
  • Qualidade da amostragem: aumente a densidade de pontos nas proximidades das assíntotas para visualizar a oscilação rápida. Em Winplot ajuste a “step” ou “plot resolution” para um passo pequeno (por exemplo 0{,}001 ou 0{,}0005) quando for fazer zoom próximo a x_0. Note que isso exige mais CPU.
  • Atenção ao conectar pontos: se Winplot ligar pontos de um lado da assíntota ao do outro, subdivida o domínio e faça várias curvas, uma para cada intervalo \left(\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+(k+1)\pi\right), assim não aparecem traços entre intervalos não-definidos.
  • Observação importante para o desenho: ao aproximar-se de x_0 o gráfico não tende a \pm\infty; ao invés disso, ele salta entre valores entre -1 e 1 com frequência crescente — o gráfico mostra “riscos” densos entre -1 e 1 imediatamente próximos à assíntota.

Passo 7

Resumo e interpretação final para você decorar para a prova (do jeito direto, claro e amigável):
  • Domínio e continuidade: f está definida e é contínua em todos os pontos onde \cos(x)\neq0.
  • Discontinuidades: em cada ponto x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi a função não está definida e o limite não existe (oscila entre -1 e 1). Essas descontinuidades são essenciais/oscilatórias.
Força aí — na prova descreva o domínio, aplique a composição de contínuas para os pontos do domínio e faça a construção por sequências (ou argumento de oscilação) para provar que não há limite nas assíntotas.

Resposta

f é contínua em \displaystyle \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi:\;k\in\mathbb{Z}\right\}.
f é descontínua em \displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi para todo k\in\mathbb{Z}; em cada um desses pontos a função não está definida e o limite \lim_{x\to(\pi/2+k\pi)}\cos\operatorname{sec}(x) não existe (descontinuidade oscilatória, não removível).

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