Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque. Depois faça os respectivos gráficos, utilizando o programa winplot.
f(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}(x+\pi / 2), & x \leq \pi / 2 \\\ x-\pi / 2, & x>\pi / 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\sin\!\big(x+\dfrac{\pi}{2}\big), & x \leq \dfrac{\pi}{2},\\[6pt] x-\dfrac{\pi}{2}, & x>\dfrac{\pi}{2}, \end{cases}
e pede que eu investigue onde a função é contínua e onde é descontínua, explicando por quê, e que faça os gráficos (usando winplot).
Informações importantes dadas:
  • A função está definida por duas expressões: uma para x\le \dfrac{\pi}{2} e outra para x>\dfrac{\pi}{2}.
  • O ponto potencial de descontinuidade é x=\dfrac{\pi}{2} (ponto de “troca” de ramo).
    Perguntas que preciso responder:
  • Em que pontos (ou intervalos) f é contínua?
  • Em que pontos (ou intervalos) f é descontínua (se houver)?
  • Como traçar o gráfico no winplot (instruções para desenhar cada ramo e o ponto de união)?]

Passo 2

Lembrete: definição de continuidade num ponto. Seja c\in\mathbb{R}. A função f é contínua em c se, e somente se,
\lim_{x\to c^-} f(x)=\lim_{x\to c^+} f(x)=f\text{(c)}.
Isto significa que os limites laterais existem e são iguais entre si e iguais ao valor da função em c. Para intervalos abertos, basta saber que cada expressão que define o ramo é contínua no interior do seu domínio; o único teste delicado é nos pontos onde mudamos de expressão (aqui x=\dfrac{\pi}{2}).

Passo 3

Propriedades úteis que vou usar (explico rapidamente porque):
  • A função \sin é contínua em todo \mathbb{R}. Assim, qualquer composição do tipo \sin(g(x)) é contínua onde g for contínua; aqui g(x)=x+\dfrac{\pi}{2} é um polinômio (afim), portanto contínuo, logo \sin\!\big(x+\dfrac{\pi}{2}\big) é contínua para todo x.
  • Funções lineares da forma x-\dfrac{\pi}{2} são contínuas em todo \mathbb{R}.
    Portanto cada ramo é contínuo no interior do seu domínio: o ramo \sin(x+\pi/2) é contínuo em (-\infty,\tfrac{\pi}{2}] (inclusive nos pontos internos e até o final do intervalo pelo fato da expressão ser contínua), e o ramo x-\tfrac{\pi}{2} é contínuo em (\tfrac{\pi}{2},+\infty).

Passo 4

Conclusão parcial (fora do ponto de união):
  • Para todo x<\dfrac{\pi}{2}, f(x)=\sin\!\big(x+\dfrac{\pi}{2}\big) e, como explicado, é contínua nesses pontos.
  • Para todo x>\dfrac{\pi}{2}, f(x)=x-\dfrac{\pi}{2} e é contínua nesses pontos.
    Logo quaisquer possíveis descontinuidade só podem ocorrer em x=\dfrac{\pi}{2}. Agora vou verificar esse ponto com cuidado.

Passo 5

Verificação em x=\dfrac{\pi}{2}. Vou calcular os limites laterais e o valor da função:
  • Valor da função em x=\dfrac{\pi}{2}: como o enunciado usa a primeira expressão para x\le \dfrac{\pi}{2},
f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\!\bigg(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\bigg)=\sin(\pi)=0.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}^-} f(x)=\lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}^-}\sin\!\bigg(x+\dfrac{\pi}{2}\bigg).
Como \sin é contínua, posso passar o limite para dentro:
\lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}^-}\sin\!\bigg(x+\dfrac{\pi}{2}\bigg) =\sin\!\bigg(\lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}^-}\big(x+\dfrac{\pi}{2}\big)\bigg) =\sin\!\bigg(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\bigg)=\sin(\pi)=0.
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}^+} f(x)=\lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}^+}\Big(x-\dfrac{\pi}{2}\Big).
A expressão é linear, então o limite é simplesmente o valor substituído:
\lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}^+}\Big(x-\dfrac{\pi}{2}\Big)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}=0.
Comparando: \lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}^-} f(x)=0, \lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}^+} f(x)=0 e f\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0. Todos iguais, portanto f é contínua em x=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Conclusão sobre continuidade em toda a reta: como cada ramo é contínuo no interior das suas regiões e os limites laterais e o valor coincidem em x=\dfrac{\pi}{2}, a função é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Em linguagem curta:
\text{A função }f\text{ é contínua em todo }\mathbb{R}.çãéí

Passo 7

Observações úteis para desenhar o gráfico (e para você fazer no winplot):
  • Simplificação: \sin\!\big(x+\dfrac{\pi}{2}\big)=\cos x. Então o ramo esquerdo é simplesmente y=\cos x para x\le \dfrac{\pi}{2}.
  • Ramo direito é a reta y=x-\dfrac{\pi}{2} para x>\dfrac{\pi}{2}.
  • Pontos notáveis:
    • Em x=\dfrac{\pi}{2}: \cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0 e a reta também dá 0; portanto as curvas se encontram sem salto.
    • Em x=0: f(0)=\cos 0=1.
    • Em x=-\dfrac{\pi}{2}: f(-\tfrac{\pi}{2})=\cos(-\tfrac{\pi}{2})=0.
    • Para x grande positivo a função segue a reta y=x-\dfrac{\pi}{2} (cresce indefinidamente).
  • Como resultado, o gráfico é a curva de \cos x à esquerda de \dfrac{\pi}{2} e a partir de \dfrac{\pi}{2} segue a reta com inclinação 1, sem descontinuidade no ponto de união.

Passo 8

Instruções práticas para traçar no winplot (passo a passo):
  1. Abra o winplot.
  2. Para o ramo esquerdo (coseno):
    • Entre em Equações/Functions (ou onde se inserem funções explícitas) e insira y=\cos(x) ou y=\sin\!\big(x+\dfrac{\pi}{2}\big).
    • Defina o domínio para esse gráfico como algo do tipo [-\text{lim}\,,\,\tfrac{\pi}{2}], por exemplo [-10,\tfrac{\pi}{2}] (ou escolha o intervalo que você quiser visualizar). No winplot há um campo para restringir x mínimo e máximo; coloque o máximo igual a \dfrac{\pi}{2}.
  3. Para o ramo direito (reta):
    • Insira outra equação y=x-\dfrac{\pi}{2}.
    • Defina o domínio dessa reta como [\tfrac{\pi}{2},\,10] ou (\tfrac{\pi}{2},10]. No winplot normalmente se coloca o domínio incluindo o ponto; como aqui a função é contínua, tanto faz, mas para representar a definição original você pode usar (\tfrac{\pi}{2},10] dando a sensação do ramo direito só valer para x>\tfrac{\pi}{2}. Se o winplot não permite parênteses, defina a reta para x\ge \tfrac{\pi}{2}.
  4. Ajuste a janela de visualização para ver bem a região em torno de x=\tfrac{\pi}{2} (por exemplo x entre -2\pi e 2\pi, y entre -3 e 3).
  5. Verifique que os dois ramos se encontram em \big(\tfrac{\pi}{2},0\big). Se quiser destacar o ponto, desenhe um ponto sólido em \big(\tfrac{\pi}{2},0\big).
  6. Para um visual bonito, desenhe com cores diferentes cada ramo e marque os pontos x=0 e x=\tfrac{\pi}{2} para referência.

Resposta

A função f é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

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